Dépouiller tous les détails techniques : un teneur de marché ne prend, à chaque instant, que trois décisions ; il n’en a toujours que ces trois-là :

1. À combien ça vaut vraiment aujourd’hui ? (juste valeur)

2. À quelle distance de part et d’autre de ce nombre dois-je placer mes ordres ? (écart de prix)

3. Quand on a déjà des marchandises sous la main, dans quel sens la cotation globale s’oriente-t-elle ? (inclinée)

La théorie de tenue de marché vieille de cinquante ans, c’est une tentative longue et ininterrompue : répondre à la question de quels sont ces trois nombres et pourquoi. Cet article parcourt tout le chemin : d’une interrogation en 1968 aux deux formules que le desk de trading continue d’enseigner aujourd’hui. La conclusion ne fait aucune promotion de stratégie. Ne constitue pas un conseil en investissement.

Première, pourquoi il existe un spread : deux voies pour perdre de l’argent

D’abord une question naïve : si les deux côtés affichent des ordres, comment peut-on gagner de l’argent ?

La première réponse un peu sérieuse vient de Demsetz, 1968 : le spread est un prix immédiat. Quelqu’un qui veut exécuter maintenant doit payer une taxe de commodité à quelqu’un prêt à attendre. Le market-making est un métier d’attente ; le spread est son loyer.

Si l’histoire s’arrêtait là, faire du market-making serait de l’argent ramassé par terre. Ce n’est pas le cas. Parce que l’afficheur d’ordres n’a que deux voies systématiques pour perdre, et le spread doit couvrir ces deux pertes en même temps.

Voie de perte un : la taxe d’information. Ceux qui viennent manger ton ordre se répartissent en deux catégories. Une catégorie a des affaires à régler — rééquilibrer, paniquer, se tromper de doigt ; leurs exécutions sont ton profit. L’autre catégorie sait quelque chose que toi tu ignores : leurs exécutions sont une perte ciblée. Ils mangent tes ordres vendeurs parce que le prix va monter tout de suite. Tu ne peux pas distinguer à l’avance qui est qui, donc chaque exécution porte en elle une espérance de perte « mon contrepartiste est peut-être plus intelligent que moi ». Voilà pourquoi coter trop étroitement est une garantie de saignement : un spread étroit attire tout le flux informé ; les loyers récoltés ne couvrent pas cette taxe.

Voie de perte deux : la taxe de stock. Même si chaque contrepartie est ignorante, une fois que ton ordre acheteur est exécuté, tu te retrouves du côté acheteur (long). Le prix continue de partir en vrille, et tu attends assis sur la transaction inverse. Quelqu’un doit payer la variance de ce trajet. Plus ta position est grande, plus la volatilité est grande, et plus tu es censé la garder longtemps : plus la facture est élevée.

Donc : spread = taxe de commodité − taxe d’information − taxe de stock. Dans chaque modèle de la littérature, on choisit quel terme joue le rôle principal.

Deuxième, cinquante ans, une phrase

1968, Demsetz : le spread fixe le prix de l’immédiat ; le market-making devient dès lors un métier analysable. De 1976 à 1981, Garman, Stoll, Ho et Stoll : l’école du stock. Les market-makers sont averses au risque : ils gèrent leur inventaire via l’asymétrie de leurs cotations. Ho et Stoll, dès 1981, avaient déjà écrit la forme moderne des équations ; mais à l’époque, ces mathématiques étaient trop lourdes pour être réellement utilisées. En 1985, Kyle, et aussi Glosten et Milgrom, la même année : l’école de l’information. Même un market-maker neutre au risque et à coût nul, s’il y a des traders informés mélangés au flux, il doit afficher un spread ; le spread est une tarification de la sélection adverse, et sa largeur augmente avec la proportion de flux informé. 2008, Avellaneda et Stoikov : réécrire l’école du stock via un contrôle stochastique dans l’ère du carnet électronique, et donner des solutions fermées directement recopiables en code. 2013, Gueant, Lehalle et Fernandez-Tapia : ajouter une borne dure sur le stock et une approximation asymptotique plus propre. Ensuite tout — position dans la file, prix micro, jeux de rebates — n’est que du bricolage sur cette ossature.

Il y a une chose qu’il faut sortir à part : Avellaneda-Stoikov est un modèle pur de l’école du stock, qui suppose que la taxe d’information est égale à zéro. C’est son plus gros mensonge, et c’est aussi la clé pour savoir sur quel type de carnet il peut survivre.

Troisième, deux formules.

Le monde du modèle a quatre hypothèses : le prix juste suit une marche aléatoire, la volatilité σ, et elle n’est pas affectée par tes transactions (donc pas d’adversaires informés) ; la probabilité que ton ordre soit exécuté décroît exponentiellement avec la distance δ, avec un taux de décroissance κ ; tu es avers au risque, avec un coefficient d’aversion γ ; et il existe un instant final, où on clôture les comptes au point du temps.

Formule un : le prix de référence. Commence par une question : si tu as déjà q unités en main, combien vaut pour toi une unité de plus ?

r = s − q·γ·σ²·τ

s est le prix juste du marché, τ est la durée de détention restante. À voix haute : chaque unité de stock long t’entraîne la ancre privée en dessous de l’ancre du marché, la distance étant égale au coefficient d’aversion multiplié par la variance que tu t’apprêtes à supporter. Puis tu poses tout le duo de cotations autour de r, pas autour de s. Le stock long pousse les deux côtés des cotations vers le bas : les vendeurs se rapprochent du marché (décharger devient plus facile) ; les acheteurs se retirent (continuer à recevoir devient plus difficile). L’inclinaison n’est pas un patch de gestion du risque ajouté après coup : elle sort directement de la fonction d’utilité.

Formule deux : le demi-spread optimal. Mets le risque de côté d’abord : on maximise seulement le revenu espéré par unité de temps — la distance multipliée par le taux d’exécution, c’est-à-dire δ multiplié par e^{-κδ}. En faisant la dérivée, tu obtiens une chose très élégante :

δ* = 1 / κ

Le spread optimal est l’inverse de la sensibilité du prix au flux. Celui qui mange est exigeant (κ grand), donc tu dois coter étroit ; celui qui mange ne compare pas les prix (κ petit), donc tu peux coter large. Faire du market-making, c’est être un monopoleur de l’immédiat ; et κ est la courbe de demande à laquelle il fait face. La solution complète remet le terme de risque :

δ* = γσ²τ / 2 + (1/γ)·ln(1 + γ/κ)

Le premier terme est la taxe de stock, répartie des deux côtés de tes cotations ; le deuxième terme est la majoration de monopole : quand γ tend vers zéro, il revient à 1/κ. Au final, tout le spread n’est qu’une prime d’assurance plus une rente de monopole ; il n’y a rien d’autre.

Cinquième, que racontent vraiment ces symboles

σ dans chaque formule est toujours un carré, jamais une puissance un. La variance s’accumule linéairement avec le temps, donc traverser le chaos avec une position fait mal de façon quadratique : la volatilité double, et le modèle multiplie par quatre à la fois ta dérive et la majoration de risque. L’intuition des traders « quand le carnet devient n’importe quoi, je recule » n’est pas de la superstition : c’est un terme d’ordre deux.

τ, dans l’article d’origine, c’est le temps jusqu’à la clôture. Sur un marché 7×24, il n’y a pas de cloche de clôture ; la lecture correcte devient donc : à partir du rythme actuel des transactions, dans combien de temps une transaction inverse viendra-t-elle reprendre ce stock que j’ai dans les mains ? Sur un carnet d’ordres fin, la réponse se compte en heures plutôt qu’en secondes : la taxe de stock devient immédiatement plus chère. Voilà la plus grande différence quantitative entre « coter une valeur liquide » et « coter une valeur peu suivie ».

γ est le seul paramètre que tu choisis, et non que tu mesures, et en plus il a une dimension : l’inverse de l’argent. C’est le taux de change qui transforme la variance en « combien de peine financière ». Cela signifie qu’il n’a pas de valeur standard : avec la même tolérance psychologique, un compte dix fois plus grand correspond à un γ dix fois plus petit. En pratique, il faut procéder à l’envers : d’abord décider de combien de points de base tu t’écarteras quand le stock sera rempli à fond, puis remonter à γ. Il encode ta discipline, pas la structure du marché. Et c’est précisément pour cela qu’il faut l’écrire sur papier avant de démarrer, pas en courant en ajustant au fil de l’eau.

κ est le paramètre le plus riche en information dans le modèle. Son inverse a une traduction physique : de combien de profondeur, en moyenne, un ordre au marché pénètre le carnet. κ est aussi le portrait de ton contrepartiste. κ grand : les ordres sont exigeants et professionnels, au plus près de « j’achète à un et je vends à un » ; κ petit : les ordres qui arrivent ne regardent même pas les prix — panique, liquidation forcée, ou erreurs de saisie. Il y a aussi un fait empirique qui tient sur tous les carnets mesurés par tout le monde : l’amortissement près du carnet (du « near book ») est exponentiel, mais la queue est encore plus « épaisse » que l’exponentielle. Les ordres profonds sont touchés plus souvent que ne le prédit la formule, et presque toujours par des flux qui ne se soucient pas du prix.

A, le taux d’arrivée de base, est le volume de trafic de véhicules sur ce site. La partie élégante, c’est qu’A est éliminé dans l’optimisation : la distance optimale n’a aucun rapport avec lui. Le trafic de véhicules dit si cette affaire vaut d’être ouverte ; κ dit comment la lancer. Il y en a un bon paquet qui sont morts à cause de la première question, et leur structure pour la seconde est en réalité assez belle.

Cinquième, ce que le modèle refuse de te dire

Cinq silences, chacun a mis fin à une vraie carrière professionnelle

Information. Le monde entier de Glosten-Milgrom est absent ici. Si tes exécutions peuvent prédire les prix, l’hypothèse centrale du modèle s’effondre : la machine saigne comme prévu. L’outil de diagnostic, c’est le markout : après chaque transaction, on « regarde » de nouveau les prix à des instants fixes. Si le markout est négatif, cela signifie que l’impôt d’information est bien réel, et que ton spread ne l’a pas couvert.

La position dans la file. À même prix, les ordres placés devant toi s’exécutent en premier. Le taux d’exécution que voit le modèle correspond à celui du tout premier de la file. Si tu ignores ça dans un backtest, tu accumuleras une pile de transactions que tu ne recevras jamais.

Les sauts. Dans le modèle, le chemin des prix est continu. Dans un vrai carnet, les ordres limités perceraient en quelques secondes de façon continue tes cotations du même côté. La limite de stock n’est pas une décoration optionnelle : c’est la seule chose qui tienne encore debout entre toi et la queue.

Le coût de détention. Sur les contrats perpétuels, même si le prix ne bouge pas, le stock n’est pas gratuit : les frais de financement sont réglés à l’heure. Suivant le sens, c’est soit une subvention pour ton côté du carnet en vent favorable, soit une fuite qui grignote le spread lentement.

Le retard et les frais. Les formules supposent que les cotations se téléportent instantanément et qu’elles coûtent zéro. Chaque site réel te facture avec des millisecondes et des frais de carnet, et ces deux corrections pointent dans la même direction : vers le bas.

Sixième, la conclusion honnête.

Avellaneda-Stoikov ne te donne pas un edge. Il suppose que tombe exactement ce qui tue la plupart des stratégies de cotation : les flux informés. Ce qu’il te donne, c’est une ossature correcte : un ancrage, une largeur, une inclinaison, un plafond — tout est dérivé, pas de superstition. Les paramètres empiriques (σ, κ) peuvent être mesurés à partir des données ; les paramètres de discipline (γ, plafond de stock) ne se mesurent pas : on ne peut que les choisir. Et ils appartiennent à la feuille qui doit exister avant la première commande — avec un autre nom, quand on ajuste en courant sur petit échantillon : le bruit de calibration.

Ces mathématiques ont cinquante ans et elles sont publiques. Jusqu’à aujourd’hui, elles séparent encore les professionnels des touristes. La raison n’est pas le secret : c’est que ce modèle te dit avec précision quels problèmes restent ouverts après la fin du manuel — « qui est mon flux », « où est ma file », « que va-t-il se passer dans la queue ». Ceux qui répondent à ces trois questions par la mesure ont survécu ; ceux qui veulent répondre par l’espoir, ce sont leurs contreparties qui les ont mangés.

Références : Demsetz 1968 (QJE) ; Ho and Stoll 1981 (JFE) ; Kyle 1985 (Econometrica) ; Glosten and Milgrom 1985 (JFE) ; Avellaneda and Stoikov 2008 (Quantitative Finance) ; Gueant, Lehalle, Fernandez-Tapia 2013 ; Cartea, Jaimungal and Penalva 2015 Chapitre 10 : dérivation complète.

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