«Nous utilisons la théorie établie de tarification des dérivés TradFi pour dériver une stratégie de tenue de marché automatisée AMM. Cet article explore les racines historiques de la technologie et montre comment nous l'appliquons à la tenue de marché. Avec le mécanisme de tarification qui en résulte, si l'AMM reste équilibré, les traders le feront. Si l’AMM est exposé au risque, le dérapage augmentera et les traders seront incités à couvrir leur exposition nette à l’AMM.
Le modèle d’évaluation des obligations de Merton (Merton, 1974) suppose que l’entreprise possède un certain montant de dette d’échéance T. Si la valeur des actifs de l’entreprise à l’instant T est inférieure à la valeur nominale de sa dette, l’entreprise fera défaut. Dans ce modèle, les capitaux propres de l'entreprise sont une option d'achat européenne sur les actifs de l'entreprise avec un prix d'exercice égal à la valeur nominale de la dette. Ce modèle peut être utilisé pour estimer la probabilité de défaut de l’entreprise, tout comme le modèle KMV Merton commercialisé par Moody’s Company [Bharat, Shumway, 2008], et peut également être utilisé pour valoriser la dette à risque de crédit de l’entreprise [Moody’s, 2022].
Suite à la littérature publiée par Merton en 1974, d’autres modèles de risque de défaut ont vu le jour. Dans le modèle [Black, Cox, 1976], une entreprise peut également faire défaut avant l'échéance T, alors que le seuil de défaut fixé dans l'approche de Merton est désormais dynamique. Surtout avec l'essor des dérivés de crédit à la fin des années 1990, les modèles qui font abstraction du bilan d'une entreprise (appelés modèles simplifiés) ont commencé à attirer l'attention. Pour plus de détails sur le modèle structurel et le modèle simplifié, veuillez consulter l'annexe A.
Les modèles structurels et les modèles simplifiés sont des méthodes efficaces pour simuler le risque de défaut et fixer le prix du crédit. Les deux modèles peuvent être calibrés à partir de données historiques et sont parfois combinés sous une forme « hybride ». Lorsque ces modèles sont utilisés pour la tarification, ils suivent tous le principe d’une évaluation sans risque.
évaluation neutre au risque
En termes simples, ce principe stipule que la valeur d’un actif est égale à la valeur des flux de trésorerie attendus et actualisés. La valeur attendue n'est pas calculée à l'aide de probabilités réelles, mais plutôt de probabilités construites extraites des prix d'autres actifs. Il y aurait beaucoup à dire sur cette méthode de valorisation, mais pour les besoins de cet article, l'essentiel est de savoir qu'il s'agit de la méthode de valorisation des produits dérivés, tels que les options d'achat et de vente européennes, les CDS ou les produits structurés. Pour les analystes quantitatifs avec lesquels nous travaillons chez D8X, [Björk, 2009] constitue une bonne référence pour les valorisations neutres au risque.
L'AMM perpétuel fait face aux risques de marché
Les teneurs de marché automatisés (AMM) sont des alternatives DeFi aux marchés du carnet d'ordres. Les AMM utilisent des formules pour déterminer le prix d'une transaction donnée, plutôt que de faire correspondre les ordres limites et les ordres de marché dans un système basé sur un carnet d'ordres.
Supposons qu'il n'y ait qu'un seul trader long de 1 ETH dans le contrat perpétuel (voir par exemple [Deribit 2022] pour une explication des contrats perpétuels). Si le prix de l’ETH augmente de 20 %, l’AMM doit au trader une partie du gain. De même, si le prix baisse de 20 %, l'AMM réduira la marge du trader du montant de la perte. Bref, les AMM sont exposés aux risques de marché.
S'il y a un autre trader qui vend 1 ETH et que le prix augmente de 20 %, le short trader perd 20 % et le long trader gagne 20 %, et vice versa si le prix baisse de 20 %. Dans cet exemple, l'AMM n'a aucune compensation du risque de marché : quelle que soit l'évolution du prix, l'AMM ne générera ni perte ni gain.
En résumé, pour les AMM, il est préférable d’avoir une exposition nette nulle. À proprement parler, le « zéro » ne s’applique qu’aux contrats perpétuels linéaires. Dans cet article, nous nous concentrons sur les contrats perpétuels linéaires, où la garantie est dans la devise cotée détenue (par exemple, pour le contrat perpétuel ETH-USDC, la garantie est l'USDC).
AMM comme assureur
Pour déterminer le prix du contrat perpétuel D8X, nous supposons que les traders concluent le contrat au prix au comptant et que s'ils augmentent leur exposition à AMM, ils souscrivent également une assurance-crédit auprès d'AMM. L'assurance crédit est conçue pour garantir que lorsqu'un trader clôture une position, le montant dû au trader sera payé conformément au contrat. Si les traders réduisent leur exposition à l'AMM, ils recevront un remboursement. Si l'AMM ne dispose pas de fonds lorsqu'un trader souhaite effectuer un règlement, le montant à payer doit être payé à partir d'un fonds de défaut (c'est-à-dire des réserves de capital supplémentaires). L’accord avec AMM prévoit donc également un accès possible aux fonds d’assurance. Selon le statut de l'AMM, la prime d'assurance est plus élevée ou, comme nous le verrons, les traders se font rembourser la prime s'ils réduisent leur exposition à l'AMM.
Analyse approfondie : modèle structurel des contrats à terme perpétuels AMM
Comment tarifions-nous cette assurance-crédit ? Semblable au modèle de tarification des obligations de Merton, nous supposons un horizon temporel fixe T. Pour expliquer ce concept, nous supposons d'abord que l'AMM n'a qu'un seul trader et un capital M exprimé dans la devise de cotation (par exemple USDC). Le trader entre dans une position (signée) de taille κ au prix de l'indice s. Le bénéfice du trader à la fin de la période fixée est
où s est le prix d'entrée, s⋅exp(rmber) est le prix de sortie et rmber est le rendement logarithmique. Désormais, la valeur d’une prime d’assurance est sa valeur actualisée attendue selon une mesure de probabilité sans risque. En supposant que le taux d’intérêt sans risque est nul et que le terme d’actualisation disparaît, la valeur attendue est la suivante :
où M est le capital AMM, hors capital du fonds de défaut. Afin d'avoir une compréhension intuitive de ce terme, la première chose à noter est que si le capital M de l'AMM est suffisamment important, il est très probable que le capital sera récupéré, et la valeur de l'assurance sera très faible (en dans ce cas, le premier terme de la fonction max est pour r La plupart des implémentations de sont négatives, donc la valeur de la fonction max est 0). Deuxièmement, si M vaut 0, la valeur d'assurance correspond au profit attendu du commerçant (puisque l'assurance couvre tous les bénéfices). Enfin, si M est relativement petit, une partie des bénéfices du commerçant peut être payée avec le capital AMM, et une partie des bénéfices doit être payée par une assurance. Grâce à cette explication d'hypothèse, nous devrions avoir une compréhension intuitive de la formule (2).
Pour le rendement lognormal, l'évaluation et l'analyse peuvent être effectuées via la formule (2) si la garantie M est la devise de cotation ou la devise de base (par exemple, le contrat perpétuel ETH-USD est ETH ou USD). Si la garantie est une devise tierce (en prenant comme exemple le contrat perpétuel ETH-USD, il s'agit du BTC), il n'y a pas de forme fermée et la valeur attendue doit être calculée via la méthode de Monte Carlo. Pour plus de détails sur cette approximation, nous nous référons à l'annexe B du livre blanc [Maire, Hernandez, 2022].
En résumé, la formule (2) nous donne la prime d'assurance que l'AMM souhaiterait facturer aux traders pour maintenir le fonds de défaut de l'AMM.
Parce que la formule de tarification doit être implémentée sur la blockchain, nous simplifions la prime d'assurance dans la section suivante.
Méthode d'estimation du banquier
Le secteur bancaire estime les pertes de crédit attendues comme PD EAD LGD, voir [BRI 2005] pour plus de détails, où PD est la probabilité de défaut, EAD est l'exposition en cas de défaut (montant en termes monétaires) et LGD est la perte après défaut (un terme relatif). Autrement dit, cette méthode n’estime pas conjointement les pertes attendues comme les méthodes mentionnées ci-dessus, mais suppose que la perte en cas de défaut, l’exposition au défaut et la probabilité de défaut sont indépendantes. Cette approche est également utilisée pour la tarification du crédit, voir [Moody’s 2022] pour plus de détails.
En suivant cette logique, nous supposons que la perte en dollars (EAD * LGD) est égale à la valeur de la position initiale |κ|s. Désormais, la prime d'assurance devient
La valeur attendue de 1_θ est la probabilité de défaut, que nous fixons à q. L'indicateur par défaut est 0 lorsque l'AMM n'effectue pas de défaut et est 1 lorsqu'il est par défaut :
Par conséquent, notre prime d’assurance, l’équation (2), se simplifie désormais en la valeur de la position multipliée par la probabilité de défaut sans risque, q. La valeur q correspond à la valeur de l'option numérique. À l’annexe B, nous fournissons une explication intuitive des raisons pour lesquelles il s’agit d’une hypothèse prudente pour l’AMM. En fait, il est conservateur tant que la probabilité que le prix double au moins sur une période donnée est faible.
Nous estimons la prime d’assurance en multipliant la valeur de l’option numérique par la taille de la transaction |κ|s. Cela conduit à une solution de forme fermée que nous pouvons implémenter en chaîne.
La valeur q d'une option numérique peut être calculée analytiquement pour tous les types de garanties M (de base, de cotation ou double devise), nous pouvons donc mettre en œuvre cette approche entièrement en chaîne. La figure 1 compare l'approximation de la prime d'assurance avec la perte attendue divisée par κs donnée par l'équation (2).
À mesure que κs/M augmente, l’approximation de l’option numérique surestime la prime d’assurance. Ceci est utile car s'il y a suffisamment de capital (le ratio κs/M est faible), nous sous-évaluons le risque, et à mesure que le capital diminue par rapport à l'exposition du trader, nous commençons à surévaluer le risque. La tarification dissuade donc les traders de soumettre les AMM à des risques excessifs et incite la transaction opposée à entrer, car les remises sont également surévaluées (et donc avantageuses pour les traders), comme nous le détaillons dans la section suivante.
Incitations aux commerçants
Nous incorporons la prime q(κ) dans le prix p comme suit :
Parmi eux, si le paramètre de sgn(.) est positif, le résultat du calcul est 1, sinon le résultat du calcul est -1 et κ est la taille de la transaction qui minimise le risque AMM. Cela signifie que, par exemple, si vous êtes un trader à découvert et que κ est négatif, vous pouvez effectuer une transaction à découvert au-dessus du prix au comptant s afin de pouvoir profiter lorsque le prix converge vers le spot ; à l'inverse, un trader en position longue entre au-dessus du prix au comptant ; , C'est cher par rapport au trading au comptant.
Comme nous pouvons le voir sur la figure 1, pour des valeurs inférieures de taille d'échange par habitant (κs/M), l'approximation (« option numérique ») reste proche de la valeur exacte assurée et sera plus élevée si l'AMM est exposé à des risques plus élevés. risque Estimer les primes d’assurance. Cette prime est facturée aux traders qui augmentent le risque et restituée aux traders qui réduisent le risque. Par conséquent, les traders sont incités à réduire l’exposition nette de l’AMM au point le plus bas κ-κ*. À κ-κ*, AMM présente le risque de marché le plus faible.
en conclusion
Nous proposons un nouveau contrat perpétuel AMM basé sur la théorie de la tarification des produits dérivés. Notre approche suppose que les traders souscrivent une assurance-crédit pour garantir que leurs positions seront remboursées à la fin du contrat. Notre approche est conservatrice car nous estimons la probabilité de défaut sans risque plutôt que d’estimer conjointement la perte attendue. Notre approche peut être entièrement mise en œuvre en chaîne, ce qui conduit à une solution de forme fermée.
Il s’agit d’un article technique, mais nous espérons qu’il fournira une perspective intéressante à ceux qui s’intéressent à la DeFi et à l’ingénierie financière. Nous pensons qu'en combinant les meilleures pratiques de la finance traditionnelle avec la technologie blockchain, nous pouvons fournir de meilleurs produits et services à la communauté DeFi.
Informations originales en anglais : https://medium.com/@d8x.exchange/applying-derivative-pricing-theory-to-automated-market-making-for-perpetual-futures-aba831c80ad1