„Wykorzystujemy ustaloną teorię wyceny instrumentów pochodnych TradFi, aby opracować strategię zautomatyzowanego tworzenia rynku AMM. W tym artykule badamy historyczne korzenie tej technologii i pokazujemy, w jaki sposób stosujemy ją do tworzenia rynku. Jeśli AMM pozostanie zrównoważone, inwestorzy to zrobią w obliczu mniejszego poślizgu. Jeśli AMM będzie narażony na ryzyko, poślizg będzie się zwiększał, a inwestorzy będą zachęcani do zabezpieczania swojej ekspozycji netto na AMM.
Model wyceny obligacji Mertona (Merton, 1974) zakłada, że spółka posiada określoną kwotę zadłużenia z terminem zapadalności T. Jeżeli wartość majątku spółki w chwili T jest niższa od wartości nominalnej jej długu, spółka nie wywiąże się ze zobowiązań. W tym modelu kapitał firmy jest europejską opcją kupna aktywów firmy z ceną wykonania równą wartości nominalnej długu. Model ten można wykorzystać do oszacowania prawdopodobieństwa niewykonania zobowiązania przez spółkę, podobnie jak model KMV Merton skomercjalizowany przez Moody’s Company [Bharat, Shumway, 2008], a także można go wykorzystać do wyceny zadłużenia spółki z tytułu ryzyka kredytowego [Moody’s, 2022].
W oparciu o literaturę opublikowaną przez Mertona w 1974 r. pojawiły się inne modele ryzyka niewykonania zobowiązania. W modelu [Black, Cox, 1976] firma może również nie wywiązać się ze zobowiązania przed terminem zapadalności T, podczas gdy próg niewypłacalności ustalony w podejściu Mertona jest obecnie dynamiczny. Zwłaszcza wraz z rozwojem kredytowych instrumentów pochodnych pod koniec lat 90. uwagę zaczęły przyciągać modele abstrakcyjne bilansu przedsiębiorstwa (zwane modelami uproszczonymi). Szczegółowe informacje na temat modelu konstrukcyjnego i modelu uproszczonego można znaleźć w dodatku A.
Zarówno modele strukturalne, jak i modele uproszczone są skutecznymi metodami symulowania ryzyka niewykonania zobowiązania i wyceny kredytu. Obydwa modele można skalibrować na podstawie danych historycznych, a czasami łączy się je w formę „hybrydową”. Kiedy modele te są wykorzystywane do wyceny, wszystkie opierają się na zasadzie wyceny neutralnej pod względem ryzyka.
wycena neutralna pod względem ryzyka
W uproszczeniu zasada ta głosi, że wartość aktywa jest równa wartości oczekiwanych, zdyskontowanych przepływów pieniężnych. Wartość oczekiwana nie jest obliczana na podstawie prawdopodobieństw ze świata rzeczywistego, ale raczej na podstawie prawdopodobieństw skonstruowanych na podstawie cen innych aktywów. O tej metodzie wyceny można powiedzieć dużo więcej, jednak na potrzeby tego artykułu najważniejsze jest, aby wiedzieć, że jest to metoda wyceny instrumentów pochodnych, takich jak europejskie opcje kupna i sprzedaży, CDS czy produkty strukturyzowane. W przypadku wielkości, z którymi pracujemy w D8X, [Björk, 2009] jest dobrym punktem odniesienia dla wycen neutralnych pod względem ryzyka.
Perpetual AMM boryka się z ryzykiem rynkowym
Automated Market Maker (AMM) to alternatywa DeFi do zamawiania rynków książek. AMM używają formuł do określenia ceny danej transakcji, zamiast dopasowywać zlecenia z limitem i zlecenia rynkowe w systemie opartym na księdze zleceń.
Załóżmy, że tylko jeden trader ma pozycję długą na 1 ETH w kontrakcie wieczystym (zobacz np. [Deribit 2022] w celu uzyskania wyjaśnienia kontraktów wieczystych). Jeśli cena ETH wzrośnie o 20%, AMM jest winien inwestorowi część zysku. Podobnie, jeśli cena spadnie o 20%, AMM zmniejszy marżę tradera o kwotę straty. Krótko mówiąc, AMM są narażone na ryzyko rynkowe.
Jeśli inny trader ma krótką pozycję na 1 ETH i cena wzrośnie o 20%, trader posiadający krótką pozycję traci 20%, a trader zajmujący pozycję długą zyskuje 20% i odwrotnie, jeśli cena spadnie o 20%. W tym przykładzie AMM ma zerową kompensację ryzyka rynkowego: bez względu na to, jak zmienia się cena, AMM nie wygeneruje żadnych strat ani zysków.
Podsumowując, w przypadku AMM najlepiej jest mieć zerową ekspozycję netto. Ściśle mówiąc, „zero” dotyczy wyłącznie liniowych kontraktów wieczystych. W tym artykule skupiamy się na liniowych kontraktach perpetual, gdzie zabezpieczenie jest w posiadanej walucie kwotowanej (przykładowo dla kontraktu perpetual ETH-USDC zabezpieczeniem jest USDC).
AMM jako ubezpieczyciel
Aby ustalić cenę kontraktu wieczystego D8X, zakładamy, że inwestorzy zawierają kontrakt po cenie spot i jeśli zwiększają swoją ekspozycję na AMM, wykupują również ubezpieczenie kredytu od AMM. Ubezpieczenie kredytu ma na celu zapewnienie, że gdy trader zamknie pozycję, należna mu kwota zostanie zapłacona zgodnie z umową. Jeśli inwestorzy zmniejszą swoją ekspozycję na AMM, otrzymają zwrot pieniędzy. Jeżeli AMM nie posiada środków, gdy trader chce się rozliczyć, kwotę do zapłaty należy wpłacić z funduszu na wypadek niewypłacalności (tj. dodatkowego kapitału rezerwowego). Umowa z AMM obejmuje zatem także możliwość dostępu do funduszy ubezpieczeniowych. W zależności od statusu AMM składka ubezpieczeniowa jest wyższa lub, jak zobaczymy, inwestorzy otrzymują zwrot składki, jeśli zmniejszą swoją ekspozycję na AMM.
Głębokie nurkowanie: model strukturalny wieczystych kontraktów futures AMM
Jak wyceniamy to ubezpieczenie kredytu? Podobnie jak w modelu wyceny obligacji Mertona, zakładamy stały horyzont czasowy T. Aby wyjaśnić tę koncepcję, najpierw zakładamy, że AMM ma tylko jednego tradera i duże M wyrażone w walucie kwotowanej (np. USDC). Trader wprowadza (podpisaną) pozycję o wielkości κ po cenie indeksowej s. Zysk tradera na koniec ustalonego okresu wynosi
gdzie s to cena wejścia, s⋅exp(rmber) to cena wyjścia, a rmber to logarytmiczny zwrot. Wartość składki ubezpieczeniowej to jej zdyskontowana, oczekiwana wartość, obliczona na podstawie miary prawdopodobieństwa neutralnej pod względem ryzyka. Zakładając, że stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi zero i zniknie okres dyskonta, wartość oczekiwana jest następująca:
gdzie M to kapitał AMM, z wyłączeniem kapitału funduszu na wypadek niewykonania zobowiązania. Aby intuicyjnie zrozumieć to pojęcie, należy przede wszystkim zwrócić uwagę na to, że jeśli kapitał M AMM będzie wystarczająco duży, istnieje duże prawdopodobieństwo, że kapitał zostanie odzyskany, a wartość ubezpieczenia będzie niska (w tym przypadku W tym przypadku pierwszy wyraz funkcji max wynosi r. Większość implementacji funkcji jest ujemna, więc wartość funkcji max wynosi 0). Po drugie, jeśli M wynosi 0, wartość ubezpieczenia odpowiada oczekiwanemu zyskowi tradera (ponieważ ubezpieczenie obejmuje całość zysków). Wreszcie, jeśli M jest stosunkowo małe, część zysku tradera można pokryć kapitałem AMM, a część zysku musi pokryć ubezpieczenie. Dzięki wyjaśnieniu tej hipotezy powinniśmy intuicyjnie zrozumieć wzór (2).
W przypadku lognormalnego zwrotu ocenę i analizę można przeprowadzić za pomocą wzoru (2). Jeżeli zabezpieczenie M jest walutą kwotowaną lub walutą bazową (na przykład kontraktem wieczystym ETH-USD jest ETH lub USD). Jeżeli zabezpieczeniem jest trzecia waluta (na przykładzie kontraktu wieczystego ETH-USD jest to BTC), nie ma formy zamkniętej i wartość oczekiwaną należy obliczyć metodą Monte Carlo. Szczegółowe informacje na temat tego przybliżenia można znaleźć w Załączniku B białej księgi [Maire, Hernandez, 2022].
Podsumowując, wzór (2) podaje nam składkę ubezpieczeniową, jaką AMM chciałby pobierać od traderów w celu utrzymania funduszu na wypadek niewypłacalności AMM.
Ponieważ formuła cenowa wymaga wdrożenia na blockchainie, w kolejnym punkcie upraszczamy składkę ubezpieczeniową.
Metoda estymacji Bankera
Branża bankowa szacuje oczekiwane straty kredytowe jako PD EAD LGD, szczegółowe informacje można znaleźć w [BIS 2005], gdzie PD to prawdopodobieństwo niewykonania zobowiązania, EAD to ekspozycja w momencie niewykonania zobowiązania (kwota w wartościach pieniężnych), a LGD to strata po niewykonaniu zobowiązania (a termin względny). Oznacza to, że metoda ta nie szacuje łącznie oczekiwanych strat, jak metody wspomniane powyżej, ale zakłada, że strata z tytułu niewykonania zobowiązania, ryzyko niewykonania zobowiązania i prawdopodobieństwo niewykonania zobowiązania są niezależne. Podejście to stosuje się również do wyceny kredytów, szczegółowe informacje można znaleźć w [Moody’s 2022].
Idąc tym tokiem myślenia, zakładamy, że strata dolara (EAD * LGD) jest równa początkowej wartości pozycji |κ|s. Teraz staje się składka ubezpieczeniowa
Oczekiwana wartość 1_θ to prawdopodobieństwo niewykonania zobowiązania, które ustalamy na q. Domyślnym wskaźnikiem jest 0, gdy AMM nie jest domyślny, i 1, gdy jest domyślny:
Dlatego też naszą składkę ubezpieczeniową, równanie (2), upraszcza się teraz do wartości pozycji pomnożonej przez neutralne pod względem ryzyka prawdopodobieństwo niewykonania zobowiązania, q. Wartość q odpowiada wartości opcji cyfrowej. W Załączniku B przedstawiamy intuicyjne wyjaśnienie, dlaczego jest to konserwatywne założenie dla AMM. W rzeczywistości jest to podejście konserwatywne, o ile prawdopodobieństwo, że cena co najmniej podwoi się w danym okresie, jest niskie.
Składkę ubezpieczeniową szacujemy mnożąc wartość opcji cyfrowej przez wielkość transakcji |κ|s. Prowadzi to do rozwiązania w postaci zamkniętej, które możemy wdrożyć w łańcuchu.
Wartość q opcji cyfrowej można obliczyć analitycznie dla wszystkich rodzajów zabezpieczenia M (bazowego, kwotowanego lub dwuwalutowego), dzięki czemu możemy wdrożyć to podejście całkowicie on-chain. Rysunek 1 porównuje przybliżenie składki ubezpieczeniowej z oczekiwaną stratą podzieloną przez κ podane przez równanie (2).
W miarę wzrostu κs/M przybliżenie opcji cyfrowej zawyża składkę ubezpieczeniową. Jest to przydatne, ponieważ jeśli kapitał jest wystarczający (współczynnik κs/M jest niski), zaniżamy cenę ryzyka, a gdy kapitał zmniejsza się w stosunku do ekspozycji inwestora, zaczynamy zawyżać cenę ryzyka. Ceny zniechęcają zatem handlowców do narażania AMM na nadmierne ryzyko i zachęcają przeciwną branżę do wejścia na rynek, ponieważ rabaty są podobnie zawyżone (a zatem korzystne dla handlowców), jak szczegółowo opisaliśmy w następnej sekcji.
Zachęty dla handlowców
Do ceny p zaliczamy składkę q(κ) w następujący sposób:
Wśród nich, jeśli parametr sgn(.) jest dodatni, wynik obliczeń wynosi 1, w przeciwnym przypadku wynik obliczeń wynosi -1, a κ jest wielkością transakcji minimalizującą ryzyko AMM. Oznacza to, że na przykład, jeśli jesteś inwestorem zajmującym pozycję krótką i κ jest ujemne, możesz otworzyć krótką transakcję powyżej ceny spot, aby osiągnąć zysk, gdy cena zbliży się do ceny spot; , Jest to kosztowne w porównaniu do handlu spot.
Jak widać na rysunku 1, dla niższych wartości wielkości transakcji na mieszkańca (κs/M) przybliżenie („opcja cyfrowa”) pozostaje bliskie dokładnej wartości ubezpieczenia i będzie wyższe, jeśli AMM będzie narażony na wyższe ryzyko Oszacuj składki ubezpieczeniowe. Premia ta jest pobierana od traderów, którzy zwiększają ryzyko i zwracana traderom, którzy zmniejszają ryzyko. Dlatego też inwestorzy mają motywację do zmniejszenia ekspozycji netto AMM do najniższego punktu κ-κ*. Przy κ-κ* AMM charakteryzuje się najmniejszym ryzykiem rynkowym.
podsumowując
Proponujemy nowy kontrakt wieczysty AMM oparty na teorii wyceny instrumentów pochodnych. Nasze podejście zakłada, że inwestorzy wykupują ubezpieczenie kredytu, aby mieć pewność, że ich pozycje zostaną opłacone na koniec kontraktu. Nasze podejście jest konserwatywne, ponieważ szacujemy prawdopodobieństwo niewykonania zobowiązania neutralne pod względem ryzyka, a nie łącznie szacujemy oczekiwaną stratę. Nasze podejście można wdrożyć całkowicie on-chain, co prowadzi do rozwiązania w formie zamkniętej.
Jest to artykuł techniczny, ale mamy nadzieję, że zapewni interesującą perspektywę osobom zainteresowanym DeFi i inżynierią finansową. Wierzymy, że łącząc najlepsze praktyki tradycyjnych finansów z technologią blockchain, możemy dostarczać społeczności DeFi lepsze produkty i usługi.
Oryginalne informacje w języku angielskim: https://medium.com/@d8x.exchange/applying-derivative-pricing-theory-to-automated-market-making-for-perpetual-futures-aba831c80ad1