„Wir nutzen die etablierte Preistheorie für TradFi-Derivate, um eine automatisierte AMM-Market-Making-Strategie abzuleiten. Dieser Artikel untersucht die historischen Wurzeln der Technologie und zeigt, wie wir sie auf das Market-Making anwenden, wenn das AMM ausgeglichen bleibt Wenn das AMM einem Risiko ausgesetzt ist, wird der Slippage zunehmen und Händler werden dazu angeregt, ihr Netto-AMM-Engagement abzusichern.“
Das Anleihepreismodell von Merton (Merton, 1974) geht davon aus, dass das Unternehmen über einen bestimmten Schuldenbetrag mit der Laufzeit T verfügt. Wenn der Wert der Vermögenswerte des Unternehmens zum Zeitpunkt T geringer ist als der Nennwert seiner Schulden, gerät das Unternehmen in Zahlungsverzug. In diesem Modell ist das Eigenkapital des Unternehmens eine europäische Call-Option auf die Vermögenswerte des Unternehmens mit einem Ausübungspreis, der dem Nennwert der Schulden entspricht. Dieses Modell kann zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit des Unternehmens verwendet werden, genau wie das von Moody’s Company kommerzialisierte KMV-Merton-Modell [Bharat, Shumway, 2008], und kann auch zur Bewertung der Kreditrisikoschulden des Unternehmens verwendet werden [Moody’s, 2022].
Im Anschluss an die 1974 von Merton veröffentlichte Literatur entstanden weitere Ausfallrisikomodelle. Im Modell [Black, Cox, 1976] kann ein Unternehmen auch vor der Fälligkeit T ausfallen, wohingegen die im Merton-Ansatz festgelegte Ausfallschwelle nun dynamisch ist. Insbesondere mit dem Aufkommen von Kreditderivaten in den späten 1990er Jahren erregten Modelle, die die Bilanz eines Unternehmens abstrahieren (sogenannte vereinfachte Modelle), zunehmend Aufmerksamkeit. Einzelheiten zum Strukturmodell und zum vereinfachten Modell finden Sie in Anhang A.
Sowohl Strukturmodelle als auch vereinfachte Modelle sind wirksame Methoden zur Simulation des Ausfallrisikos und zur Kreditbewertung. Beide Modelle können anhand historischer Daten kalibriert werden und werden manchmal zu einer „hybriden“ Form kombiniert. Bei der Verwendung dieser Modelle zur Preisbildung folgt allesamt dem Prinzip der risikoneutralen Bewertung.
risikoneutrale Bewertung
Vereinfacht ausgedrückt besagt dieses Prinzip, dass der Wert eines Vermögenswerts dem Wert der erwarteten, abgezinsten Cashflows entspricht. Der erwartete Wert wird nicht anhand realer Wahrscheinlichkeiten berechnet, sondern anhand konstruierter Wahrscheinlichkeiten, die aus anderen Vermögenspreisen extrahiert werden. Über diese Bewertungsmethode ließe sich noch viel mehr sagen, aber für die Zwecke dieses Artikels geht es vor allem darum, zu wissen, dass es sich hierbei um die Methode zur Bewertung von Derivaten wie europäischen Call- und Put-Optionen, CDS oder strukturierten Produkten handelt. Für die quantitativen Analysten, mit denen wir bei D8X zusammenarbeiten, ist [Björk, 2009] eine gute Referenz für risikoneutrale Bewertungen.
Perpetual AMM ist mit Marktrisiken konfrontiert
Automated Market Maker (AMMs) sind DeFi-Alternativen zu Orderbuchmärkten. AMMs verwenden Formeln, um den Preis für einen bestimmten Handel zu bestimmen, anstatt Limit- und Marktaufträge in einem auftragsbuchbasierten System abzugleichen.
Angenommen, es gibt nur einen Händler mit einer Länge von 1 ETH im unbefristeten Vertrag (siehe z. B. [Deribit 2022] für eine Erklärung unbefristeter Verträge). Wenn der Preis der ETH um 20 % steigt, schuldet der AMM dem Händler einen Teil des Gewinns. Wenn der Preis um 20 % sinkt, verringert das AMM ebenfalls die Marge des Händlers um den Betrag des Verlusts. Kurz gesagt, AMMs sind Marktrisiken ausgesetzt.
Wenn es einen anderen Händler gibt, der 1 ETH short hält und der Preis um 20 % steigt, verliert der Händler, der short ist, 20 % und der Händler, der long ist, gewinnt 20 %, und umgekehrt, wenn der Preis um 20 % sinkt. In diesem Beispiel weist der AMM keinen Marktrisikoausgleich auf: Ganz gleich, wie sich der Preis bewegt, der AMM generiert weder Verluste noch Gewinne.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es bei AMMs am besten ist, ein Nettorisiko von Null zu haben. Streng genommen gilt „Null“ nur für lineare unbefristete Verträge. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf lineare unbefristete Verträge, bei denen die Sicherheit in der angegebenen Währung erfolgt (zum Beispiel ist die Sicherheit für den unbefristeten ETH-USDC-Vertrag USDC).
AMM als Versicherungsanbieter
Um den Preis des unbefristeten D8X-Kontrakts zu bestimmen, gehen wir davon aus, dass Händler den Kontrakt zum Spotpreis abschließen und, wenn sie ihr Engagement bei AMM erhöhen, auch eine Kreditversicherung von AMM abschließen. Die Kreditversicherung soll sicherstellen, dass der dem Händler zustehende Betrag vertragsgemäß ausgezahlt wird, wenn ein Händler eine Position schließt. Wenn Händler ihr AMM-Engagement reduzieren, erhalten sie eine Rückerstattung. Wenn der AMM nicht über Mittel verfügt, wenn ein Händler die Abwicklung abwickeln möchte, muss der zu zahlende Betrag aus einem Ausfallfonds (d. h. zusätzlichen Kapitalreserven) gezahlt werden. Der Deal mit AMM beinhaltet daher auch einen möglichen Zugang zu Versicherungsmitteln. Abhängig vom Status des AMM ist die Versicherungsprämie höher, oder, wie wir sehen werden, erhalten Händler die Prämie zurückerstattet, wenn sie ihr Engagement im AMM reduzieren.
Tiefer Einblick: Strukturmodell des Perpetual Futures AMM
Wie bepreisen wir diese Kreditversicherung? Ähnlich wie beim Anleihepreismodell von Merton gehen wir von einem festen Zeithorizont T aus. Um dieses Konzept zu erklären, gehen wir zunächst davon aus, dass der AMM nur einen Händler und ein Kapital M hat, ausgedrückt in der Notierungswährung (z. B. USDC). Der Händler gibt eine (vorzeichenbehaftete) Position der Größe κ zum Indexpreis s ein. Der Gewinn des Händlers am Ende des festgelegten Zeitraums beträgt
Dabei ist s der Einstiegspreis, s⋅exp(rmber) der Ausstiegspreis und rmber die logarithmische Rendite. Der Wert einer Versicherungsprämie ist nun ihr abgezinster, erwarteter Wert unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß. Unter der Annahme, dass der risikofreie Zinssatz Null ist und die Diskontlaufzeit verschwindet, ergibt sich folgender Erwartungswert:
wobei M das AMM-Kapital ist, ohne Ausfallfondskapital. Um diesen Begriff intuitiv zu verstehen, muss zunächst Folgendes beachtet werden: Wenn das AMM-Kapital M groß genug ist, ist es sehr wahrscheinlich, dass das Kapital zurückerlangt wird, und der Wert der Versicherung wird niedrig sein (in diesem Fall). In diesem Fall gilt der erste Term der Max-Funktion für r. Die meisten Implementierungen von sind negativ, sodass der Wert der Max-Funktion 0 ist. Zweitens: Wenn M 0 ist, entspricht der Versicherungswert dem erwarteten Gewinn des Händlers (da die Versicherung alle Gewinne abdeckt). Wenn M schließlich relativ klein ist, kann ein Teil des Gewinns des Händlers mit AMM-Kapital bezahlt werden, und ein Teil des Gewinns muss durch Versicherungen bezahlt werden. Durch diese Hypothesenerklärung sollten wir ein intuitives Verständnis der Formel (2) erlangen.
Für die logarithmische Normalrendite kann die Bewertung und Analyse anhand der Formel (2) erfolgen, wenn die Sicherheit M die Notierungswährung oder die Basiswährung ist (z. B. ist der unbefristete ETH-USD-Vertrag ETH oder USD). Handelt es sich bei der Sicherheit um eine dritte Währung (bei dem unbefristeten ETH-USD-Vertrag handelt es sich beispielsweise um BTC), gibt es keine geschlossene Form und der erwartete Wert muss mithilfe der Monte-Carlo-Methode berechnet werden. Einzelheiten zu dieser Näherung finden Sie in Anhang B des Whitepapers [Maire, Hernandez, 2022].
Zusammenfassend gibt uns Formel (2) die Versicherungsprämie an, die die AMM den Händlern für die Aufrechterhaltung des AMM-Ausfallfonds berechnen möchte.
Da die Preisformel auf der Blockchain implementiert werden muss, vereinfachen wir im nächsten Abschnitt die Versicherungsprämie.
Banker-Schätzmethode
Die Bankenbranche schätzt erwartete Kreditverluste als PD EAD LGD, siehe [BIZ 2005] für Einzelheiten, wobei PD die Ausfallwahrscheinlichkeit, EAD das Risiko bei Ausfall (Betrag in Geld) und LGD der Verlust nach dem Ausfall ist (a relativer Begriff). Das heißt, diese Methode schätzt den erwarteten Verlust nicht gemeinsam wie die oben genannten Methoden, sondern geht davon aus, dass Verlust bei Ausfall, Ausfallrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit unabhängig voneinander sind. Dieser Ansatz wird auch für die Kreditpreisgestaltung verwendet, siehe [Moody’s 2022] für Details.
Dieser Denkweise folgend gehen wir davon aus, dass der Dollarverlust (EAD * LGD) gleich dem anfänglichen Positionswert |κ|s ist. Jetzt beträgt die Versicherungsprämie
Der erwartete Wert von 1_θ ist die Ausfallwahrscheinlichkeit, die wir auf q setzen. Der Standardindikator ist 0, wenn das AMM nicht in den Standardzustand übergeht, und ist 1, wenn es in den Standardzustand übergeht:
Daher vereinfacht sich unsere Versicherungsprämie, Gleichung (2), nun zu dem Positionswert multipliziert mit der risikoneutralen Ausfallwahrscheinlichkeit q. Der q-Wert entspricht dem Wert der digitalen Option. In Anhang B liefern wir eine intuitive Erklärung, warum dies eine konservative Annahme für AMM ist. Tatsächlich ist es konservativ, solange die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis in einem Zeitraum mindestens verdoppelt, gering ist.
Wir schätzen die Versicherungsprämie, indem wir den Wert der digitalen Option mit der Handelsgröße |κ|s multiplizieren. Dies führt zu einer geschlossenen Lösung, die wir in der Kette implementieren können.
Der Wert q einer digitalen Option kann für alle Arten von Sicherheiten M (Basis-, Quote- oder Doppelwährung) analytisch berechnet werden, sodass wir diesen Ansatz vollständig in der Kette implementieren können. Abbildung 1 vergleicht die Versicherungsprämiennäherung mit dem erwarteten Verlust dividiert durch κs nach Gleichung (2).
Wenn κs/M wächst, überschätzt die digitale Optionsnäherung die Versicherungsprämie. Dies ist nützlich, denn wenn ausreichend Kapital vorhanden ist (das κs/M-Verhältnis ist niedrig), bewerten wir das Risiko unterbewertet, und wenn das Kapital im Verhältnis zum Risiko des Händlers abnimmt, beginnen wir, das Risiko zu überbewerten. Die Preisgestaltung hält Händler daher davon ab, AMMs einem unangemessenen Risiko auszusetzen, und schafft Anreize für den Einstieg in den Gegenhandel, da Rabatte ebenfalls überteuert sind (und daher für Händler von Vorteil sind), wie wir im nächsten Abschnitt näher erläutern.
Anreize für Händler
Wir integrieren die Prämie q(κ) wie folgt in den Preis p:
Wenn unter anderem der Parameter von sgn(.) positiv ist, ist das Berechnungsergebnis 1, andernfalls ist das Berechnungsergebnis -1 und κ ist die Transaktionsgröße, die das AMM-Risiko minimiert. Das heißt, wenn Sie beispielsweise ein Short-Händler sind und κ negativ ist, können Sie einen Short-Trade oberhalb des Kassakurses eingehen, sodass Sie profitieren können, wenn der Preis in Richtung des Kassakurses konvergiert Spot: Dies ist im Vergleich zum Spothandel teuer.
Wie wir in Abbildung 1 sehen können, bleibt die Annäherung („digitale Option“) bei niedrigeren Werten der Handelsgröße pro Kopf (κs/M) nahe am genauen Versicherungswert und wird höher sein, wenn das AMM einem höheren Risiko ausgesetzt ist Risiko Versicherungsprämien schätzen. Diese Prämie wird Händlern berechnet, die das Risiko erhöhen, und an Händler zurückgegeben, die das Risiko verringern. Daher besteht für Händler ein Anreiz, das AMM-Nettorisiko auf den niedrigsten Punkt κ-κ* zu reduzieren. Mit κ-κ* weist AMM das geringste Marktrisiko auf.
abschließend
Wir schlagen ein neues AMM mit unbefristetem Vertrag vor, das auf der Preistheorie für Derivate basiert. Unser Ansatz geht davon aus, dass Händler eine Kreditversicherung abschließen, um sicherzustellen, dass ihre Positionen am Ende des Vertrags ausgezahlt werden. Unser Ansatz ist konservativ, da wir die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit schätzen und nicht gemeinsam den erwarteten Verlust schätzen. Unser Ansatz kann vollständig in der Kette implementiert werden, was zu einer geschlossenen Lösung führt.
Dies ist ein technischer Artikel, aber wir hoffen, dass er denjenigen, die sich für DeFi und Financial Engineering interessieren, eine interessante Perspektive bietet. Wir glauben, dass wir durch die Kombination der Best Practices des traditionellen Finanzwesens mit der Blockchain-Technologie bessere Produkte und Dienstleistungen für die DeFi-Community anbieten können.
Englische Originalinformationen: https://medium.com/@d8x.exchange/applying-derivative-pricing-theory-to-automated-market-making-for-perpetual-futures-aba831c80ad1