Dạo này vòng bạn bè của bạn chắc bị giải Fields “phủ sóng” rồi nhỉ?
Đừng có chối. Bạn cũng như mình thôi: khi thấy năm chữ “Giả thuyết treo vắt ba chiều”, trong đầu mình hiện ra ngay một bát mì ramen kiểu Nhật; còn khi thấy “Vấn đề thứ sáu của Hilbert”, phản ứng đầu tiên là: anh này ít nhất có sáu vấn đề, còn ít hơn mình một chút.
Ngày 23 tháng 7, tại Mỹ ở Philadelphia, hai nhà toán học người Trung Quốc là Đỗ Vũ và Vương Hồng giành được giải Fields. Đây là lần đầu tiên một nhà toán học mang quốc tịch Trung Quốc nhận được giải thưởng này, mà đã nhận liền hai người. Chuyện còn điên hơn nữa là hai người này là bạn cùng lớp khóa 2007 của Đại học Bắc Kinh.
Bạn thử nghĩ xem tâm trạng bạn cùng lớp của họ thế nào. Hồi ôn thi cuối kỳ, bạn xem đến tận 3 giờ sáng và cảm thấy lần này chắc ăn. Thế mà bên cạnh bạn, có một anh đang giải quyết một vấn đề đã làm giới toán học đau đầu suốt 108 năm. Bạn thậm chí còn chưa nắm rõ phạm vi ôn, còn người ta thì đang làm “chuỗi logic hoàn chỉnh từ hệ hạt vi mô đến phương trình Boltzmann vĩ mô”. Cùng một giảng đường, cùng một sự tuyệt vọng, nhưng hoàn toàn không ở cùng một “tầng” nào.
Giải Fields được trao mỗi bốn năm một lần, mỗi lần không quá bốn người. Người nhận giải phải chưa đầy 40 tuổi. Dịch ra thì: “World Cup của giới toán”, nhưng sạch hơn FIFA—ít nhất là chưa nghe có vụ mua trọng tài.
Cái ngưỡng 40 tuổi này tàn nhẫn thật. Giải Nobel thì bạn có thể chờ đến tận 90 tuổi mới nhận. Còn Giải Fields qua 40 là coi như hết đường. Tức là nếu năm nay bạn 39 tuổi và 364 ngày mà vẫn chưa giải được bài toán khó của thế kỷ, thì mau đi ngủ đi. Sáng mai dậy… bạn chỉ là người bình thường.
Còn buồn cười hơn nữa: trên huy chương Giải Fields in hình Archimedes—người mà trong bồn tắm phát hiện ra định luật lực nổi, cởi quần chạy ra đường hô “Eureka”. Trên huy chương danh dự cao nhất của giới toán học in một người trần truồng.
Trước hết nói về vấn đề mà Vương Hồng giải: Giả thuyết “treo trong không gian 3 chiều” (trefoil/挂谷). Năm 1917, nhà toán học người Nhật Kakutani (tên gốc: 挂谷宗一) đưa ra. Nghe vấn đề rất mộc mạc: một cây kim có chiều dài 1 phải quay qua mọi hướng trong không gian—vậy cần không gian nhỏ nhất là bao nhiêu?
108 năm—một nhóm những người thông minh nhất thế giới—mất hơn một trăm năm để hiểu cách một cây kim quay xoay. (Ý: để hiểu cây kim quay thế nào trong không gian).
Máy khâu nhà bạn đã tự hiểu hết từ năm 1880 rồi.
Vương Hồng chứng minh rằng: trong không gian ba chiều, dù cây kim đó quay thế nào, nó cũng phải chiếm trọn toàn bộ không gian ba chiều. Nói cách khác, một cây kim muốn quay đi qua mọi hướng thì không thể thu gọn lại thành một cục, lười biếng mà trốn vào góc. Muốn bao quát mọi phía thì phải lấp đầy cả không gian, không có đường tắt. Nghe giống một câu “châm ngôn đạo lý” phải không? Nhưng người ta dùng tới 127 trang giấy để chứng minh chén “gà luộc” này. Còn mẹ bạn chỉ nói một câu: “Làm người phải toàn diện.” 127 trang so với một câu—đó chính là khác biệt giữa nhà toán học và mẹ.
Người tên Vương Hồng này cũng rất thú vị. Cô thi đại học được 653 điểm, muốn học toán nhưng điểm không đủ để vào được chuyên Toán. Thế là cô được điều sang Học viện Khoa học Trái Đất và Vũ trụ ở Bắc Đại. Năm thứ hai mới chuyển sang ngành Toán. Nghĩa là: người sau này giải được nan đề trăm năm đó, lúc đầu suýt nữa còn chưa vào được cả ngành Toán.
Nếu bây giờ bạn đang bị điều sang ngành khác, thấy tin này thì hãy cố lên. Còn nếu bạn không bị điều sang cũng hãy cố lên—vì bạn cùng khóa với bạn, bạn Vương Hồng, năm thứ nhất thậm chí chưa vào nổi ngành Toán. Sau đó cô giành được Fields, còn bạn thì năm đó bị điều sang một ngành mà bạn không thích. Rồi cuối cùng, bạn chỉ học cách chấp nhận thực tại.
Nói tiếp về Đàm Vũ: anh ấy giải quyết Vấn đề số 6 của Hilbert. Năm 1900, Hilbert ném ra liền một lúc 23 bài toán. Một người bình thường đề xuất một hai bài là đã bận cả đời rồi. Hilbert đưa 23 bài, rồi tự đi làm việc việc khác, để lại cho cả thế giới các nhà toán học… lau mông cho ông hơn một trăm năm.
Vấn đề thứ sáu đại khái nói rằng: liệu có thể dùng suy luận toán học chặt chẽ để từ vô số các va chạm của những hạt vi mô, suy ra được các phương trình chất lỏng vĩ mô hay không? Dịch ra ngôn ngữ đời thường là: vì sao một đám bóng nhảy loạn xạ lại hợp lại thành… gió?
126 năm, Đàm Vũ nói: “Đúng rồi, được thôi.”
Nói về Đàm Vũ, tôi phải nêu một chi tiết: trên trang cá nhân Zhihu của anh ấy, mục sở thích ghi: thơ ca, truyện ngắn, tiểu thuyết, câu đố, truyện tranh, cờ vây và bóng đá. Anh ấy cũng từng viết một bài khá hệ thống về đề xuất truyện tranh GL, sắp xếp danh mục theo tác giả và tác phẩm, dùng chữ đậm để đánh dấu phần anh ấy đề xuất. Chữ ký Zhihu của anh ấy vẫn luôn là: “Ước mong thế giới hòa bình, ước mong Long Lân kết hôn.”
Một người đoạt Giải Fields, sở thích ngoài học tập lớn nhất là “chén” các bộ truyện tranh GL CP; còn sở thích ngoài học tập lớn nhất của bạn là lướt video ngắn rồi bị thuật toán “nhồi” vào dòng thông tin. Chênh lệch trình độ lộ ra ngay—người ta chuyển mượt giữa toán học và hai chiều (2D) còn bạn thì cứ qua lại giữa những “bánh vẽ của sếp” và ưu đãi mua đơn ngoài bằng voucher. (Một bên là thông tin thật, một bên là mồi.)
Khi Vương Hồng học ở Pháp, cô có nửa năm không làm toán—chạy đi học xây dựng. Sau đó cô nhận ra xây dựng còn khó hơn toán. Thế là cô quyết định quay lại thử lần nữa.
Chuyện này cho chúng ta biết: khi bạn thấy toán quá khó, hãy thử đi xây dựng. Bạn sẽ thấy toán thật ra rất đơn giản. Nhưng nếu bạn thấy cuộc sống quá khó, hãy thử đi học toán—bạn sẽ phát hiện cuộc sống cũng thật đơn giản, vì các bài toán ít nhất đều có đáp án chuẩn.
Bây giờ bạn nhận ra: “thang thời gian” của nhà toán học khác người thường. Bạn nghĩ chờ 30 phút cho đơn hàng là cực hạn rồi. Còn người ta chờ một lời giải… hơn một trăm năm. Lúc chờ thì người ta không lướt điện thoại, không thúc đơn, không chê bai đánh giá thấp—chỉ ngồi đó suy nghĩ.
Lúc Đàm Vũ học ở MIT, trong một học kỳ anh chọn 5-6 môn toán, đồng thời đọc ba cuốn sách. Từng có lúc anh bỏ ra cả một tuần để rà từng dòng một bài nghiên cứu 85 trang. Buổi tối ngủ ở phòng nghỉ của sinh viên đại học chuyên toán, lật (Tạp chí Toán học Tháng Mỹ), nghe tiếng côn trùng ngoài cửa sổ.
Một thiên tài toán học, hoạt động giải trí buổi tối là nghe tiếng côn trùng và đọc tạp chí toán. Còn hoạt động giải trí buổi tối của bạn là lướt video ngắn—rồi thuật toán đẩy cho bạn “ba con số giúp bạn tháng nhập 100.000”.
Nói đến con số, mình phát hiện ra trong lĩnh vực toán học có sản sinh ra hai thứ: một là thiên tài, hai là đồ “meme”, và chúng thường xuất hiện ở cùng một người.
Ví dụ có một câu đố “tư duy toán” kinh điển: Trên thế giới có 10 loại người—người hiểu nhị phân và người không hiểu nhị phân.
Nếu bạn cười rồi, nghĩa là bạn hiểu nhị phân. Nếu bạn không cười, thì bạn đang ở trong phần “không hiểu”. Nếu bạn cười nhưng không giải thích được vì sao cười—xin chúc mừng, bạn hợp làm lãnh đạo.
Ví dụ thế này: vì sao 6 sợ 7?
Vì 7 ăn 9. (seven eight nine = 7 ate 9)
Câu chuyện này là tiếng Anh, nhưng dịch ra vẫn đúng, bởi vì toán học là ngôn ngữ chung của cả loài người—đến mức trên khắp thế giới đều có người kể cùng một câu đùa lạnh.
Nói đến chuyện “lạnh”, 0 và 8 đã nói với nhau một câu: “Thắt lưng đẹp đấy.”
Cảnh tượng này quá sống động. Bạn chỉ cần nghĩ tới là không thể quên được. 8 chính là người trung niên thắt cái thắt lưng. Còn 0 là người mặc quần thể thao. Nhà toán học “gán tính cách” cho con số—tỉ mỉ hơn cả nhà văn. Mà nếu nhìn 8 ngược lại thì chính là ký hiệu vô cùng ∞. Thế nên người có số 8 đứng thẳng thì là “khủng hoảng tuổi trung niên”, nằm thẳng ra thì là “vĩnh cửu”.
Rồi đến câu chuyện tình “đen” nhất trong giới toán học: các đường thẳng song song.
Các đường thẳng song song có nhiều điểm chung, nhưng mãi mãi không bao giờ gặp nhau.
Cái này còn ngược hơn bất kỳ phim tình cảm nào—bọn họ ở cùng một mặt phẳng, cùng hướng, giữ khoảng cách như nhau, mãi mãi đi song song, nhưng mãi mãi không thể nắm tay. Biên kịch còn không dám viết vậy vì khán giả sẽ thấy quá giả. Nhưng toán học nói: “Thật đấy, tôi chứng minh cho bạn xem.”
Còn một bức thư nữa gửi cho đại số: “Đại số thân mến, đừng bắt tôi giúp bạn tìm X nữa. Nó sẽ không quay về đâu. Chúng tôi cũng không biết Y đi đâu rồi.”
Bức thư này còn đau lòng hơn cả giấy ly hôn: X chạy mất, Y cũng mất tích, chỉ còn lại mỗi Z bấn loạn trong gió. Thầy giáo dạy đại số mỗi ngày viết trên bảng: “Tìm X”. Nó giống hệt thông báo truy tìm người. Cả lớp đều giúp tìm, tìm suốt mười mấy năm mà X vẫn bặt vô âm tín. Ngược lại, Z lại bị tìm thấy vô số lần—và mỗi lần đáp án đều là nó.
Có một nhà toán học cực sợ số âm. Người khác hỏi sao lại thế, ông nói: “Tôi sẵn sàng trả bằng mọi giá để tránh chúng.”
Câu tiếng Anh gốc là “He'll stop at nothing to avoid them.” Hay ở chỗ “stop at nothing” vừa là “bất chấp thủ đoạn”, vừa là “dừng lại ở số 0”—gặp số âm là dừng ở 0, không bước tiếp. Một nhà toán học sợ số âm thì cũng “lố” như một đầu bếp sợ lửa. Nhưng ông ấy đã dừng ở 0. Hành động đó… vốn đã rất “toán” rồi.
Nói về kiểu tư duy của các nhà toán học, có một câu chuyện kinh điển: Một kỹ sư, một nhà vật lý và một nhà toán học thi với nhau—làm sao dùng hàng rào ít nhất để bao được diện tích lớn nhất. Kỹ sư quây một vòng tròn, nói đây là lời giải tối ưu. Nhà vật lý kéo hàng rào thành một đường thẳng, bảo giả sử hàng rào vô hạn dài, thì quây được nửa quả đất. Nhà toán học khẽ mỉm cười, dùng rất ít hàng rào quây lấy… chính mình, rồi tuyên bố: “Tôi ở bên ngoài.”
Tinh túy của trò đùa này nằm ở chỗ: nhà toán học luôn tìm được một góc nhìn mà bạn không ngờ tới. Bạn nghĩ anh ta đang hơn ai đó ở việc quây to—không, anh ta hơn ở việc đứng xa. Bạn nghĩ anh ta đang giải một vấn đề—không, anh ta đang định nghĩa lại vấn đề. Đây là lý do vì sao nhà toán học có thể giải các nan đề trăm năm: góc nhìn của họ khác bạn. Bạn thấy một cây kim đang quay, còn họ thấy cả số chiều của không gian.
Bạn nghĩ giải xong ba chiều là xong rồi? Ngây thơ. Câu thần chú của nhà toán học là “mở rộng sang n chiều”. Nó trái ngược hoàn toàn với câu thần chú của quản lý sản phẩm “trước làm MVP”—một bên muốn mở rộng vô hạn, một bên muốn thu nhỏ vô hạn, cuối cùng cả hai đều điên.
Nói đến mấy meme về số, tiếng Trung cũng có khá nhiều cái hay.
Ai cũng dùng cụm “làm tròn” (bốn bỏ năm vào). Có một đứa trẻ đi thi được 45 điểm. Về nhà nói với bố: “Làm tròn là 50 điểm, nên bố phải đưa con 5 mao.” Ông bố suýt nữa “làm tròn” luôn con mình vào trại trẻ mồ côi.
Còn có một câu đố hóc búa nữa: ba cái số 3 làm sao để ghép thành số lớn nhất?
Đáp án không phải 333, không phải 33 nhân 3, mà là 3 mũ 33. Đáp án này khiến tất cả những ai đoán 333 im bặt cả một lượt. Toán học là vậy: giới hạn mà bạn nghĩ chưa chắc đã là giới hạn, giới hạn thật sự nằm trong một góc khuất mà bạn chưa từng ngờ tới.
Thêm một ví dụ: một con vi khuẩn phân đôi trong 1 phút thành 2 con. 60 phút thì đầy một cái chai. Nếu ban đầu thả vào 2 con vi khuẩn, thì bao lâu mới đầy?
Đáp án là 59 phút.
Nhiều người trực giác nói 30 phút, nghĩ rằng “hai người làm cùng, nhanh gấp đôi”. Nhưng việc vi khuẩn phân chia là tăng theo hàm mũ: bạn cho thêm một cái vào, bạn chỉ tiết kiệm được… đúng thời gian phân chia của phút đầu tiên. Thế nên cuối cùng chỉ nhanh hơn 1 phút.
Cái lý đó đặt vào cuộc sống chính là: bạn nghĩ thêm một người giúp thì tiết kiệm được một nửa thời gian, nhưng thực ra chỉ tiết kiệm được một chút thôi. Đó là lý do vì sao kết hôn không thể nâng cao hiệu suất.
Còn một cái nữa: trứng trong rổ mỗi phút bị nhân đôi. 12 phút thì đầy. Vậy khi nào đầy… nửa?
Đáp án: 11 phút. Vì thêm đúng 1 phút nữa thì nhân đôi sẽ đầy. Vậy phút ngay trước khi đầy chính là nửa đầy.
Kết luận này nghe có vẻ trái ngược trực giác, nhưng cứ nghĩ xem—nếu bạn chính là quả trứng đó, ở phút thứ 11, bạn sẽ thấy còn sớm, mới chỉ nửa đầy. Chỉ một phút sau, đã đầy cỡ thùng rồi. Bạn bị “ép” bùng nổ mà không hề hay biết.
Cái lý đó đặt vào thị trường bất động sản thì gọi là “điểm ngoặt đến nhanh hơn bạn tưởng”. Đặt vào đường chân tóc của bạn cũng gọi là “điểm ngoặt đến nhanh hơn bạn tưởng”.
Còn một câu chuyện vui trong lớp toán: Thầy hỏi: “8 chia cho 2 bằng mấy? Các em nghĩ xem, 8 được chia thành hai nửa thì bằng bao nhiêu?” Tiểu Hoa nói: “Bằng 0, tách trên dưới.” Tiểu Phương nói: “Không đúng, bằng hai cái tai, tách ở giữa.”
Nói thật về trí tưởng tượng trong không gian của hai người đó, còn mạnh hơn nhiều nhà toán học. Nhà toán học chỉ nghĩ tới phép chia, còn họ nghĩ tới việc giải phẫu.
Có một học sinh làm bài thi toàn trắc nghiệm. Cậu ấy mang theo một con xúc xắc. Lắc một cái chọn một đáp án, sắp nộp bài thì cậu lại bắt đầu lắc tiếp. Giám thị nhịn không nổi hỏi: “Em đang làm gì vậy?” Học sinh nói: “Kiểm tra lại.”
Trình độ xác suất của học sinh này có thể cao hơn cả cả lớp, vì cậu ấy dùng random number do tin rằng đúng ngẫu nhiên để xác minh random number—bản thân cái “vòng khép kín” đó. Chỉ là kết quả tạo ra từ vòng khép kín ấy, phần lớn cũng… là ngẫu nhiên.
Sao sách toán lúc nào cũng không vui? Vì nó có quá nhiều “problems”.
Trong tiếng Anh, “problem” vừa là “bài toán”, vừa là “phiền não”. Thế nên một cuốn sách toán lúc nào cũng đầy ắp “problem”, giống hệt một người trung niên—ngày nào mở ra cũng là problem, đóng lại vẫn là problem, viết cả đời vẫn là problem. Đến khi tính ra thì… mình cũng hóa ra là “problem” của người khác.
Nói về mối quan hệ giữa toán và cuộc sống còn có một trò đùa tiếng Anh: nhà thống kê đã chết đuối trong một con sông có độ sâu trung bình 3 feet.
Vì “độ sâu trung bình 3 feet” không có nghĩa là chỗ nào cũng sâu 3 feet. Có nơi có thể chỉ 6 inch, có nơi có thể là 10 feet. Các nhà thống kê nhìn vào giá trị trung bình, thấy là ổn, rồi bước vào.
Câu chuyện này cho chúng ta biết: đừng tin vào giá trị trung bình. Lương trung bình của bạn không phải là lương thực nhận của bạn. Thời gian ngủ trung bình không có nghĩa là hôm nay bạn đã ngủ đủ. Lời dối trá lớn nhất của thống kê chính là chữ “trung bình”—lấy lương của Jack Ma và lương của bạn rồi tính trung bình, thế là bạn cũng thành đại gia tỷ phú.
Thêm một câu nữa: vì sao các nhà toán học không phơi nắng trên bãi biển? Vì họ có sine và cosine (sin và cos). Không cần nắng mặt trời vẫn “get a tan” (làm sém / tangent—tiếp tuyến).
Trò chơi chữ đồng âm này cần một chút nền tảng tiếng Anh, nhưng một khi bạn “get” ra rồi, bạn sẽ thấy mình cười vui hơn cả lúc ngồi ở hiện trường trao giải Fields—vì ở hiện trường thực ra chẳng mấy ai cười. Lý do là điểm cười của nhà toán học rất cao—họ đã tối ưu hóa lời đùa rồi.
Quay lại nói về Giải Fields đi. Bạn có thấy không: điều kỳ lạ nhất trong lĩnh vực toán học là ở chỗ… các bài toán của nó có thể nhốt chân những người thông minh nhất thế giới trong suốt 100 năm, nhưng các trò đùa của nó thì học sinh tiểu học cũng cười được.
Đây chính là sức hấp dẫn của toán học—ngưỡng cực cao, nhưng độ “cười điểm” lại cực thấp.
Trong năm 2018, khi nhà toán học đoạt Giải Fields Jean Bourgain qua đời, Đàm Vũ đã viết một câu: “Tôi chờ hết một đời, rốt cuộc có thể thấy được bóng lưng của tiền bối không?”
Câu này đặt vào trong một trò đùa vẫn đúng. Bạn trải hết cả đời, liệu có thể nghĩ ra vì sao 6 sợ 7 không? Đáp án bạn đã biết rồi: vì 7 ăn 9, một câu đố chơi chữ giải quyết một bài toán khó của trăm năm. Một học sinh đại học Bắc Đại và bạn học của mình giải quyết xong vấn đề kéo dài 126 năm.
Vương Hồng nói quá trình nghiên cứu của cô là “dài lâu và bình yên”, không có khoảnh khắc bùng nổ chấn động, không có khoảnh khắc giác ngộ kịch tính—chỉ là ngày qua ngày suy diễn, thử sai, rồi lại suy diễn.
Nó giống y như cuộc sống của bạn—dài lâu và bình yên. Chỉ là người ta suy diễn ra “bậc/ số chiều của không gian ba chiều”, còn bạn suy diễn ra “trưa mai ăn gì”. Người ta thử sai hơn một trăm năm được một tấm huy chương. Bạn thử sai ba mươi năm chỉ được một chứng đau dạ dày. Người ta trong bài báo viết “để ε > 0”. Bạn thì trong ghi chú lúc đặt đồ ăn ghi “đừng bỏ hành, cho thêm ớt”.
Cho nên bạn xem: toán học không hề cao không thể với tới. Nó nằm ngay trong cuộc sống hằng ngày của bạn. Bạn tính tiền mua hàng ngoài bằng voucher—đó là toán. Bạn chờ thang máy—đó là xác suất. Bạn lướt video ngắn, bị thuật toán “túm” —đó là hệ thống gợi ý. Còn bạn gom đơn trong “11/11” —đó là vận trù học.
Chỉ khác ở chỗ: nhà toán học biến những thứ đó thành một bài báo 127 trang và một tấm huy chương in hình người trần truồng chạy; còn bạn thì biến chúng thành câu: “Mua 200 giảm 30, còn thiếu 7 tệ—có muốn thêm một cái đùi gà không?”
Có lẽ đây chính là sự hài hước lớn nhất của toán học: nó tốn 108 năm để giải một vấn đề, rồi bị cướp mất độ nóng bởi một đoạn video ngắn… 3 giây.
Được rồi, đến giờ quảng cáo.
Nếu bạn thấy đoạn chữ này cũng hơi hay, thì nó xuất phát từ “Xưởng gia công tạp bút” vobcai.cn. Người đàng hoàng ai viết tạp bút—nhưng viết ra đảm bảo còn đẹp hơn người đàng hoàng. Bạn nảy ý, mình viết lời. Từ meme đến trà đạo đến châm biếm rồi đến bịa chuyện—dịch vụ trọn gói một phát ăn luôn.
Nếu bạn thấy chỉ nhìn chữ mà chưa đã, muốn biến mấy thứ này thành video để đăng ra—thì “Xưởng gia công video” đây. Bạn góp miệng, mình góp phần hình: đổi 40 giây tài liệu thành một video mà bạn không dám nhận đó là quay bằng điện thoại độ nét cao của mình; bàn giao trong 24 giờ; 100 tệ; kịch bản, giọng nói, người số hóa, một chuỗi đầy đủ trọn gói—bạn chỉ cần há miệng ra thôi.
Dẫu sao thì: nhà toán học mất 108 năm để chứng minh một cây kim quay thế nào, còn bạn chỉ cần 40 giây để có một video của riêng mình.
Chuyện hiệu suất còn phải xem vào chúng ta.
Xưởng gia công video
Đặt làm ngay → vobcai.cn
