«Мы используем устоявшуюся теорию ценообразования деривативов TradFi для разработки автоматизированной стратегии создания рынка AMM. В этой статье исследуются исторические корни этой технологии и показано, как мы применяем ее к созданию рынка. Если AMM остается сбалансированным, трейдеры будут действовать в результате этого механизма ценообразования. столкнутся с меньшим проскальзыванием. Если AMM подвержен риску, проскальзывание увеличится, и трейдеры будут заинтересованы в хеджировании своего чистого риска AMM».
Модель ценообразования облигаций Мертона (Merton, 1974) предполагает, что компания имеет определенную сумму долга со сроком погашения T. Если стоимость активов компании в момент T меньше номинальной стоимости ее долга, компания объявит дефолт. В этой модели капитал фирмы представляет собой европейский опцион колл на активы фирмы с ценой исполнения, равной номинальной стоимости долга. Эту модель можно использовать для оценки вероятности дефолта компании, так же, как модель KMV Merton, коммерциализированную компанией Moody’s [Bharat, Shumway, 2008], а также для оценки долга компании, связанного с кредитным риском [Moody’s, 2022].
После литературы, опубликованной Мертоном в 1974 году, появились и другие модели риска дефолта. В модели [Black, Cox, 1976] фирма также может объявить дефолт до наступления срока погашения Т, тогда как порог дефолта, который был зафиксирован в подходе Мертона, теперь является динамическим. Особенно с появлением кредитных деривативов в конце 1990-х годов стали привлекать внимание модели, абстрагирующие баланс компании (так называемые упрощенные модели). Подробную информацию о структурной модели и упрощенной модели см. в Приложении А.
Как структурные модели, так и упрощенные модели являются эффективными методами моделирования риска дефолта и определения цены кредита. Обе модели можно калибровать по историческим данным, а иногда их объединяют в «гибридную» форму. Когда эти модели используются для ценообразования, все они следуют принципу нейтральной к риску оценки.
нейтральная к риску оценка
Проще говоря, этот принцип гласит, что стоимость актива равна стоимости ожидаемых дисконтированных денежных потоков. Ожидаемая стоимость рассчитывается не с использованием реальных вероятностей, а с использованием построенных вероятностей, извлеченных из цен других активов. Об этом методе оценки можно сказать гораздо больше, но для целей этой статьи главное — знать, что это метод определения цены деривативов, таких как европейские опционы «колл» и «пут», CDS или структурированные продукты. Для количественных аналитиков, с которыми мы работаем в D8X, [Björk, 2009] является хорошим справочником по нейтральным к риску оценкам.
Бессрочный АММ сталкивается с рыночными рисками
Автоматизированные маркет-мейкеры (AMM) — это альтернатива DeFi рынкам книг заказов. AMM используют формулы для определения цены для данной сделки, а не сопоставляют лимитные и рыночные ордера в системе, основанной на книге заказов.
Предположим, что в бессрочном контракте есть только один трейдер с длинной длиной 1 ETH (см., например, [Deribit 2022] для объяснения бессрочных контрактов). Если цена ETH вырастет на 20%, AMM должен трейдеру часть прибыли. Аналогично, если цена упадет на 20%, AMM уменьшит маржу трейдера на сумму убытка. Короче говоря, АММ подвержены рыночным рискам.
Если есть другой трейдер, который открывает короткую позицию по 1 ETH, и цена поднимается на 20%, краткосрочный трейдер теряет 20%, а длинный трейдер получает 20%, и наоборот, если цена падает на 20%. В этом примере АММ имеет нулевую компенсацию рыночного риска: независимо от того, как движется цена, АММ не принесет никаких убытков или прибылей.
Подводя итог, можно сказать, что для AMM лучше всего иметь чистое нулевое воздействие. Строго говоря, «ноль» применим только к линейным бессрочным контрактам. В этой статье мы сосредоточимся на линейных бессрочных контрактах, где обеспечение находится в котируемой валюте (например, для бессрочного контракта ETH-USDC залогом является доллар США).
АММ как страховая компания
Чтобы определить цену бессрочного контракта D8X, мы предполагаем, что трейдеры заключают контракт по спотовой цене, и если они увеличивают свою долю в AMM, они также приобретают кредитную страховку у AMM. Страхование кредита предназначено для того, чтобы при закрытии позиции трейдеру выплачивалась сумма, предусмотренная контрактом. Если трейдеры уменьшат риск AMM, они получат возмещение. Если у AMM нет средств, когда трейдер хочет произвести расчет, подлежащая выплате сумма должна быть выплачена из фонда по умолчанию (т. е. дополнительных резервов капитала). Таким образом, сделка с AMM также включает возможный доступ к страховым фондам. В зависимости от статуса АММ страховая премия выше, или, как мы увидим, трейдеры получают возмещение премии, если они уменьшают свою подверженность АММ.
Глубокое погружение: Структурная модель бессрочных фьючерсов AMM
Как мы оцениваем эту кредитную страховку? Подобно модели ценообразования облигаций Мертона, мы предполагаем фиксированный временной горизонт T. Чтобы объяснить эту концепцию, мы сначала предположим, что у AMM есть только один трейдер и капитал M, выраженный в валюте котировки (например, USDC). Трейдер открывает (подписанную) позицию размером κ по индексной цене s. Прибыль трейдера в конце фиксированного периода равна
где s — цена входа, s⋅exp(rmber) — цена выхода, а rmber — логарифмическая доходность. Теперь стоимость страховой премии — это ее дисконтированная ожидаемая стоимость с учетом нейтральной к риску меры вероятности. Предполагая, что безрисковая процентная ставка равна нулю и срок дисконтирования исчезает, ожидаемое значение будет следующим:
где M — капитал AMM, исключая капитал дефолтного фонда. Чтобы иметь интуитивное понимание этого термина, первое, что следует отметить, это то, что если капитал АММ М достаточно велик, весьма вероятно, что капитал будет возмещен, а стоимость страхования будет низкой (в этом случае В этом случае первый член функции max равен r. Большинство реализаций отрицательны, поэтому значение функции max равно 0). Во-вторых, если M равно 0, страховая стоимость соответствует ожидаемой прибыли трейдера (поскольку страховка покрывает всю прибыль). Наконец, если М относительно невелико, часть прибыли трейдера может быть выплачена капиталом АММ, а часть прибыли должна быть выплачена за счет страхования. Благодаря объяснению этой гипотезы мы должны иметь интуитивное понимание формулы (2).
Для логнормальной доходности оценка и анализ могут быть выполнены по формуле (2), если залогом M является валюта котировки или базовая валюта (например, бессрочный контракт ETH-USD — ETH или USD). Если обеспечением является третья валюта (в качестве примера можно привести бессрочный контракт ETH-USD, это BTC), закрытой формы нет, и ожидаемую стоимость необходимо рассчитывать с помощью метода Монте-Карло. Подробную информацию об этом приближении можно найти в Приложении B к официальному документу [Maire, Hernandez, 2022].
Подводя итог, формула (2) дает нам страховую премию, которую АММ хотело бы взимать с трейдеров за поддержание дефолтного фонда АММ.
Поскольку формулу ценообразования необходимо реализовать в блокчейне, в следующем разделе мы упростим страховую премию.
Банковский метод оценки
В банковском секторе ожидаемые кредитные убытки оцениваются как PD EAD LGD, подробности см. в [BIS 2005], где PD — это вероятность дефолта, EAD — это риск при дефолте (сумма в денежном выражении), а LGD — это убыток после дефолта (убыток после дефолта). относительный термин). То есть этот метод не оценивает ожидаемые убытки совместно, как упомянутые выше методы, а предполагает, что убытки при дефолте, риск дефолта и вероятность дефолта независимы. Этот подход также используется для ценообразования по кредитам, подробнее см. [Moody’s 2022].
Следуя этому подходу, мы предполагаем, что долларовый убыток (EAD * LGD) равен начальному значению позиции |κ|s. Теперь страховая премия становится
Ожидаемое значение 1_θ — это вероятность дефолта, которую мы установили равным q. Индикатор по умолчанию равен 0, если AMM не использует значения по умолчанию, и равен 1, если он настроен по умолчанию:
Таким образом, наша страховая премия, уравнение (2), теперь упрощается до стоимости позиции, умноженной на нейтральную к риску вероятность дефолта q. Значение q соответствует стоимости цифровой опции. В Приложении Б мы даем интуитивное объяснение того, почему это консервативное предположение для АММ. Фактически, он консервативен до тех пор, пока вероятность того, что цена вырастет как минимум вдвое за определенный период, низка.
Мы оцениваем страховую премию, умножая стоимость цифрового опциона на размер сделки |κ|s. Это приводит к решению закрытой формы, которое мы можем реализовать в сети.
Стоимость q цифрового опциона может быть рассчитана аналитически для всех типов обеспечения M (базовое, котируемое или бивалютное), поэтому мы можем реализовать этот подход полностью в цепочке. На рисунке 1 сравнивается аппроксимация страховой премии с ожидаемым убытком, разделенным на κs, заданный уравнением (2).
По мере роста κs/M приближение цифровых опционов завышает страховую премию. Это полезно, потому что при наличии достаточного капитала (отношение κs/M низкое) мы недооцениваем риск, а по мере того, как капитал уменьшается по сравнению с риском трейдера, мы начинаем переоценивать риск. Таким образом, ценообразование лишает трейдеров стимула подвергать AMM чрезмерному риску и стимулирует вход в противоположную сделку, поскольку скидки также завышены (и, следовательно, выгодны для трейдеров), как мы подробно рассмотрим в следующем разделе.
Стимулы для трейдеров
Мы включаем премию q(κ) в цену p следующим образом:
Среди них, если параметр sng(.) положителен, результат расчета равен 1, в противном случае результат расчета равен -1, а κ — размер транзакции, который минимизирует риск AMM. Это означает, что, например, если вы являетесь коротким трейдером и κ отрицательно, вы можете открыть короткую сделку выше спотовой цены s, чтобы получить прибыль, когда цена приближается к спотовой цене, и наоборот, длинный трейдер входит выше спотовой цены; , Это дорого по сравнению со спотовой торговлей.
Как мы видим на рисунке 1, для более низких значений размера сделки на душу населения (κs/M) аппроксимация («цифровой опцион») остается близкой к точной страховой стоимости и будет выше, если АММ подвергается более высоким риск Оценить страховые премии. Эта премия взимается с трейдеров, которые увеличивают риск, и возвращается трейдерам, которые снижают риск. Таким образом, у трейдеров есть стимул снизить чистый риск AMM до самой низкой точки κ-κ*. При κ-κ* АММ имеет наименьший рыночный риск.
в заключение
Мы предлагаем новый бессрочный контракт AMM, основанный на теории ценообразования деривативов. Наш подход предполагает, что трейдеры приобретают кредитную страховку, чтобы гарантировать выплату своих позиций в конце контракта. Наш подход консервативен, поскольку мы оцениваем нейтральную к риску вероятность дефолта, а не совместно оцениваем ожидаемые убытки. Наш подход может быть реализован полностью в цепочке, что приводит к решению закрытой формы.
Это техническая статья, но мы надеемся, что она откроет интересную перспективу для тех, кто интересуется DeFi и финансовым инжинирингом. Мы считаем, что, объединив лучшие практики традиционных финансов с технологией блокчейна, мы сможем предоставлять более качественные продукты и услуги сообществу DeFi.
Оригинальная информация на английском языке: https://medium.com/@d8x.exchange/applying-derivative-pricing-theory-to-automated-market-making-for-perpetual-futures-aba831c80ad1.