Tire todos os detalhes técnicos: um market maker, a cada momento, só toma três decisões — sempre apenas essas três:

1. Quanto isso vale agora de fato? (preço justo)

2. A que distância, de cada lado desse número, eu coloco ordens? (spread)

3. Quando você já está com o lote “na mão”, para onde a cotação geral deve pender? (inclinação)

A teoria de market making de cinquenta anos é, essencialmente, uma tentativa longa: responder quanto valem esses três números e por quê. Este texto percorre todo o caminho: de uma pergunta em 1968, até hoje a mesa de negociação ainda segue dois fórmulas ensinadas. O final não faz propaganda de estratégia. Não constitui recomendação de investimento.

1. Por que o spread existe: dois caminhos para perder dinheiro

Primeiro, uma pergunta ingênua: se os dois lados têm ordens colocadas, por que seria possível ganhar dinheiro?

A primeira resposta decente vem de Demsetz, 1968: o spread é precificação de imediatismo. Quem precisa executar agora tem que pagar uma taxa de conveniência para quem está disposto a esperar. Market maker é um “esperador profissional”; o spread é o aluguel dele.

Se a história acabasse aqui, fazer market making seria dinheiro fácil. Não é. Porque quem coloca ordens tem exatamente dois caminhos sistemáticos para perder dinheiro — e o spread precisa cobrir simultaneamente esses dois caminhos.

Canal de perda um: imposto de informação. Quem vem comer suas ordens é de dois tipos. Um tipo tem algo próprio para fazer — rebalancear, pânico, escorregar o dedo; a execução deles é o seu lucro. O outro tipo sabe algo que você não sabe; a execução deles é perda direcional: eles comem suas ordens de venda porque o preço vai subir imediatamente. Você não consegue separar, ex ante, quem é quem — então cada execução carrega junto uma expectativa de perda: “talvez meu contraparte seja mais inteligente do que eu”. É por isso que cotar estreito leva a sangramento inevitável: spread estreito atrai todo o fluxo informado, e o aluguel que você coleta não consegue cobrir esse imposto.

Canal de perda dois: imposto sobre estoque. Mesmo que cada contraparte seja ingênua, depois de suas ordens a compra serem atingidas você vira comprada (long). O preço continua bagunçando; você fica lá esperando aquela próxima operação inversa. Alguém tem que pagar por essa variância que você carrega. Quanto maior a posição, maior a volatilidade, mais tempo esperado para manter, maior essa conta.

Então: spread = taxa de conveniência − imposto de informação − imposto sobre estoque. Cada modelo na literatura é uma escolha de qual dessas partes vira o protagonista.

2. Cinquenta anos, uma fala

1968, Demsetz: spread precifica imediatismo; market making vira um negócio analisável. 1976 a 1981, Garman, Stoll, Ho e Stoll: escola do estoque. Market makers são avessos a risco, e gerenciam a posição com inclinação nas cotações; Ho e Stoll em 1981 já escreveram a forma moderna das fórmulas, só que a matemática era pesada demais para ninguém conseguir usar na época. 1985, Kyle e Glosten com Milgrom, no mesmo ano: escola da informação. Mesmo um market maker neutro a risco e sem custo, se o fluxo mistura traders informados, ele precisa cotar spread; spread como precificação de seleção adversa, com a largura amplificando com a participação do fluxo informado. 2008, Avellaneda e Stoikov: reescrevem a escola do estoque com controle aleatório na era dos livros eletrônicos de ordens, fornecendo soluções fechadas que você pode copiar diretamente para o código. 2013, Gueant, Lehalle e Fernandez-Tapia adicionam um limite rígido de estoque e uma solução assintótica mais limpa. Depois disso — posições na fila, jogos de rebate e micropreços — é tudo um remendo sobre esse esqueleto.

Uma coisa precisa ser destacada: Avellaneda-Stoikov é um modelo puro da escola do estoque, que assume que o imposto de informação é zero. Essa é a maior mentira dele, e também a chave para decidir em que tipo de livro de ordens ele consegue sobreviver.

3. Dois fórmulas

O mundo do modelo tem quatro hipóteses: o preço justo faz um passeio aleatório, a volatilidade é σ e não é afetada pela sua execução (ou seja, não há contraparte informada); a probabilidade de sua cotação ser atingida decai exponencialmente com a distância δ, com taxa de decaimento κ; você é avesso a risco, com coeficiente de aversão γ; e existe um instante final, em que você liquida e fecha as contas no vencimento.

Fórmula um: preço de reserva. Primeiro, uma pergunta: se você já tem q unidades na mão, quanto vale mais ter mais uma para você?

r = s − q·γ·σ²·τ

s é o preço justo do mercado, τ é o tempo de detenção restante. Dito em voz alta: para cada unidade de estoque comprado (long), você puxa sua âncora privada para baixo da âncora do mercado, e a distância é igual ao coeficiente de aversão multiplicado pela variância que você vai suportar. Então você organiza o par de cotações ao redor de r, não ao redor de s. Estoque comprado empurra as duas pontas das cotações para baixo: a ordem de venda se aproxima do mercado (facilita descarregar), e a ordem de compra recua (torna mais difícil continuar capturando fluxo). A inclinação não é um “patch” de gestão de risco colado depois; ela cai diretamente da função de utilidade.

Fórmula dois: meio-spread ótimo. Primeiro, deixe o risco de lado; maximize apenas a receita esperada por unidade de tempo — distância vezes taxa de acerto, isto é, δ multiplicado por e na potência de −κδ. Derivando, você obtém algo bem bonito:

δ* = 1 / κ

O spread ótimo é o inverso da sensibilidade do preço ao fluxo de ordens. Quem come ordens é exigente (κ grande): você precisa cotar estreito; quem come ordens não liga para o preço (κ pequeno): você pode cotar largo. Market maker é um monopolista de imediatismo, e κ é a curva de demanda que ele enfrenta. A solução completa traz o termo de risco de volta:

δ* = γσ²τ / 2 + (1/γ)·ln(1 + γ/κ)

O primeiro termo é o imposto sobre estoque, rateado nas duas pontas da cotação; o segundo termo é o markup de monopólio, e quando γ se aproxima de zero ele volta para 1/κ. O spread inteiro é uma taxa de seguro mais um aluguel de monopólio — não tem mais nada.

4. O que esses símbolos afinal estão dizendo

σ em cada fórmula é quadrado, nunca é “em primeira potência”. A variância se acumula linearmente com o tempo, então atravessar a confusão com posição dói ao quadrado: a volatilidade dobra, e o modelo multiplica por quatro tanto a sua inclinação quanto o seu markup de risco. A intuição do trader de “quando a situação fica uma bagunça, eu recuo” não é misticismo: é um termo de segunda ordem.

τ, no artigo original, é o tempo até o encerramento. Um mercado 7×24 não tem um relógio de fechamento; a leitura correta vira: dado o ritmo atual de execução, quanto tempo ainda falta para que uma operação inversa pegue esse lote de estoque das minhas mãos? Em um livro de ordens ralo, essa resposta é em horas, não em segundos; e o “imposto sobre estoque” fica mais caro imediatamente. É a maior diferença quantitativa entre “cotar um ativo mainstream” e “cotar um ativo pouco negociado”.

γ é o único parâmetro que você escolhe, e não mede — e ainda por cima ele tem dimensão: é “1 dividido por dinheiro”. Ele é a taxa de câmbio que converte variância em “quanto de desconforto em dinheiro”. Isso significa que ele não tem valor padrão — com a mesma capacidade psicológica, uma conta dez vezes maior corresponde a um γ dez vezes menor. Na prática, faça ao contrário: primeiro determine quantos pontos-base de viés você quer sair quando o estoque estiver totalmente carregado; depois “inverta” para obter γ. O que ele codifica é a sua disciplina, não a estrutura do mercado. E por isso ele deve ser escrito no papel antes de começar, e não ajustado enquanto a operação roda.

κ é o parâmetro mais informativo no modelo. A inversa dele tem uma tradução física: quão fundo, em média, uma ordem a mercado cava o livro de ordens. κ também é o retrato do seu contraparte. κ grande significa que o fluxo de ordens é exigente e profissional, grudando em compra um e venda um; κ pequeno significa que as ordens recebidas nem olham para o preço — pânico, liquidação forçada, erros ao enviar ordens. E há mais um fato empírico que vale em todos os livros de ordens que as pessoas já mediram: a atenuação perto do book segue uma lei exponencial, mas na cauda ela é “mais gorda” do que a exponencial. Ordens mais profundas são atingidas com frequência maior do que prevê a fórmula, e quase sempre são atingidas por fluxos que não consideram preço.

A, taxa básica de chegada, é o volume de fluxo de veículos nesse local. O que é elegante aqui: A é eliminado em todas as otimizações — a distância ótima não tem relação com isso. O volume de tráfego decide se este negócio vale a pena; κ decide como este negócio deve ser aberto. Há um monte de locais que “morrem” na primeira pergunta, e a estrutura deles na segunda pergunta é, na verdade, bastante bonita.

5. O que o modelo se recusa a te dizer

Cinco silêncios, e cada um deles encerrou uma carreira profissional real.

Informação. O mundo de Glosten-Milgrom inteiro está ausente aqui. Se a sua execução consegue prever preços, a hipótese central do modelo quebra — e a máquina sangra como foi projetada. A ferramenta de diagnóstico é o markout: após cada execução, olhe de novo para o preço em um ponto de tempo fixo. Se o markout for negativo, o “imposto de informação” é real, e o seu spread não o cobriu.

Posição na fila. No mesmo preço, as ordens à sua frente executam primeiro. A taxa de acerto que o modelo observa é a taxa do começo da fila. Ignorar isso em backtests vai te registrar uma pilha de execuções que você nunca conseguiria de verdade.

Salto. A trajetória de preços no modelo é contínua. Um livro de ordens real atravessa continuamente cotações do seu mesmo lado em poucos segundos. O limite de estoque não é uma decoração opcional; é a única coisa que ainda fica de pé entre você e a cauda.

Custo de carregamento. Em contratos perpétuos, mesmo que o preço não se mova, estoque não é “de graça”: a taxa de financiamento é liquidada por hora. Dependendo do sentido, ela ou subsidia o lado do seu book que está a favor, ou é um vazamento que vai comendo o spread devagar.

Latência e taxa de corretagem. As fórmulas assumem que a cotação “teleporta” instantaneamente e não custa nada. Cada local real vai cobrar de você com milissegundos e taxa de ordens — e essas duas correções apontam na mesma direção: para baixo.

6. O resumo honesto

Avellaneda-Stoikov não te entrega um edge. Ele pressupõe que aquilo que cai é exatamente o que mata a maioria das estratégias de cotação — o fluxo de ordens informadas. O que ele te dá é um esqueleto correto: um âncora, uma largura, uma inclinação, um limite — cada coisa com dedução, e não com superstição. Parâmetros empíricos (σ, κ) podem ser medidos a partir de dados; parâmetros de disciplina (γ, limite de estoque) não dá para medir — só escolher, e eles pertencem àquela folha que vem antes da primeira ordem: rodar e ajustar em cima com amostras pequenas tem outro nome, chama-se ruído de ajuste.

Essas contas já têm cinquenta anos, e são públicas. Até hoje, elas ainda separam profissionais de turistas. A razão não é confidencialidade, e sim que este modelo te diz com precisão o que fica sem resposta depois do fim do livro-texto: quem é o meu fluxo? Onde está a minha fila? O que acontece na cauda? Quem respondeu essas três perguntas com medição sobreviveu; quem respondeu com esperança, foi o adversário deles.

Referências: Demsetz 1968 (QJE); Ho and Stoll 1981 (JFE); Kyle 1985 (Econometrica); Glosten and Milgrom 1985 (JFE); Avellaneda and Stoikov 2008 (Quantitative Finance); Gueant, Lehalle, Fernandez-Tapia 2013; Cartea, Jaimungal and Penalva 2015 Capítulo 10 tem a dedução completa.

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