「私たちは、確立されたTradFiデリバティブ価格設定理論を使用して、AMM自動マーケットメイク戦略を導き出します。この記事では、テクノロジーの歴史的ルーツを探り、結果として生じる価格設定メカニズムをどのようにマーケットメイクに適用するかを示します。AMMのバランスが保たれていれば、トレーダーは次のようになります。」 AMM がリスクにさらされている場合、スリッページは増加し、トレーダーは純 AMM エクスポージャーをヘッジするようになるでしょう。」
マートンの債券価格設定モデル (Merton、1974) は、会社が満期 T の一定量の負債を抱えていることを前提としています。時点 T における会社の資産価値が負債の額面よりも低い場合、会社はデフォルトします。このモデルでは、企業の株式は、負債の額面に等しい行使価格を持つ企業の資産に対するヨーロッパのコール オプションです。このモデルは、ムーディーズ社によって商品化された KMV マートン モデルと同様に、企業のデフォルト確率を推定するために使用できます [バーラト、シャムウェイ、2008 年] だけでなく、企業の信用リスク負債の価格を決定するためにも使用できます [ムーディーズ、2022 年]。
1974 年にマートンによって出版された文献に続いて、他のデフォルト リスク モデルが登場しました。 [Black, Cox, 1976] モデルでは、企業は満期 T 前にデフォルトすることもありますが、マートンのアプローチでは固定されていたデフォルトのしきい値は動的になります。特に 1990 年代後半のクレジットデリバティブの台頭により、企業のバランスシートを抽象化したモデル（簡略化モデルと呼ばれる）が注目を集め始めました。構造モデルと簡易モデルの詳細については、付録 A を参照してください。
構造モデルと単純化モデルはどちらも、デフォルト リスクと信用価格をシミュレーションするための効果的な方法です。どちらのモデルも履歴データから調整でき、場合によっては「ハイブリッド」形式に結合されます。これらのモデルが価格設定に使用される場合、それらはすべてリスク中立評価の原則に従います。
リスク中立の評価
簡単に言うと、この原則は、資産の価値は、予想される割引キャッシュ フローの価値に等しい、というものです。期待値は現実世界の確率を使用して計算されるのではなく、他の資産価格から抽出された構築された確率を使用して計算されます。この評価方法について言えることは他にもたくさんありますが、この記事の目的として、主なポイントは、これが欧州のコールおよびプット オプション、CDS、または仕組み商品などのデリバティブの価格設定方法であることを知っていただくことです。 D8X で私たちが協力している定量アナリストにとって、[Björk、2009] はリスク中立の評価に関する良い参考資料です。
永久AMMは市場リスクに直面する
自動マーケットメーカー (AMM) は、オーダーブック市場に代わる DeFi です。 AMM は、オーダーブックベースのシステムで指値注文と成行注文を照合するのではなく、公式を使用して特定の取引の価格を決定します。
無期限契約で 1 ETH をロングするトレーダーが 1 人だけであると仮定します (無期限契約の説明については、[Deribit 2022] などを参照)。 ETHの価格が20%上昇した場合、AMMはトレーダーに利益の一部を支払う義務があります。同様に、価格が 20% 下落した場合、AMM は損失額だけトレーダーのマージンを削減します。つまり、AMM は市場リスクにさらされています。
別のトレーダーが 1 ETH をショートして価格が 20% 上昇した場合、ショート トレーダーは 20% 損失し、ロング トレーダーは 20% 利益を獲得します。価格が 20% 下落するとその逆になります。この例では、AMM の市場リスク オフセットはゼロです。価格がどのように変動しても、AMM は損失も利益も生成しません。
要約すると、AMM の場合、エクスポージャーをネットゼロにするのが最善です。厳密に言えば、「ゼロ」は線形無期限契約にのみ適用されます。この記事では、担保が保有する相場通貨である線形永久契約に焦点を当てます (たとえば、ETH-USDC 無期限契約の場合、担保は USDC です)。
保険プロバイダーとしての AMM
D8X 無期限契約の価格を決定するために、トレーダーはスポット価格で契約を締結し、AMM へのエクスポージャーが増加する場合は AMM から信用保険も購入すると仮定します。信用保険は、トレーダーがポジションを決済したときに、トレーダーに支払うべき金額が契約に従って支払われることを保証するように設計されています。トレーダーが AMM エクスポージャーを削減した場合、返金を受けられます。トレーダーが決済したいときに AMM に資金がない場合、支払われる金額はデフォルトの資金 (つまり、追加の資本準備金) から支払われる必要があります。したがって、AMMとの契約には保険基金へのアクセスの可能性も含まれている。 AMM のステータスに応じて、保険料は高くなりますが、後で説明するように、トレーダーが AMM へのエクスポージャーを減らした場合は保険料が払い戻されます。
詳細: 無期限先物 AMM の構造モデル
この信用保険の価格はどのように決まるのでしょうか?マートンの債券価格設定モデルと同様に、固定期間 T を仮定します。この概念を説明するために、まず、AMM にはトレーダーが 1 人だけで、資本 M が相場通貨 (USDC など) で表現されていると仮定します。トレーダーは、インデックス価格 s でサイズ κ の (符号付き) ポジションを入力します。固定期間終了時のトレーダーの利益は、
ここで、s はエントリー価格、s⋅exp(rmber) はエグジット価格、rmber は対数リターンです。ここで、保険料の価値は、リスク中立の確率尺度に基づいて割引された期待値です。リスクフリー金利がゼロで割引期間がなくなると仮定すると、期待値は次のようになります。
ここで、M はデフォルトファンド資本を除いた AMM 資本です。この用語を直感的に理解するために、最初に注意すべきことは、AMM 資本 M が十分に大きい場合、資本が回収される可能性が非常に高く、保険の価値は低くなるということです (この例では)。この場合、max 関数の最初の項は r です。ほとんどの実装は負であるため、max 関数の値は 0 です)。第二に、M が 0 の場合、保険価値はトレーダーの予想利益に対応します (保険はすべての利益をカバーするため)。最後に、M が比較的小さい場合、トレーダーの利益の一部は AMM 資本で支払うことができ、利益の一部は保険で支払わなければなりません。この仮説の説明を通じて、式 (2) を直感的に理解できるはずです。
対数正規リターンの場合、担保 M が相場通貨または基本通貨である場合 (たとえば、ETH-USD 永久契約は ETH または USD)、評価と分析は式 (2) によって実行できます。担保が第 3 の通貨 (ETH-USD の永久契約を例にとると、BTC) の場合、クローズドフォームは存在せず、期待値はモンテカルロ法によって計算する必要があります。この近似の詳細については、ホワイトペーパー [Maire, Hernandez、2022] の付録 B を参照してください。
要約すると、式 (2) は、AMM がデフォルト ファンドを維持するためにトレーダーに請求する保険料を示します。
価格計算式はブロックチェーン上に実装する必要があるため、次のセクションで保険料を簡略化します。
銀行家の推定方法
銀行業界は、予想される信用損失を PD EAD LGD として推定しています。詳細については、[BIS 2005] を参照してください。ここで、PD はデフォルトの確率、EAD はデフォルト時のエクスポージャー (金額換算)、LGD はデフォルト後の損失 (a)相対用語)。つまり、この方法は、上記の方法のように予想損失を共同で推定するのではなく、デフォルト時の損失、デフォルトのエクスポージャー、およびデフォルトの確率が独立していると仮定します。このアプローチは信用価格設定にも使用されます。詳細については [Moody's 2022] を参照してください。
この考え方に従って、ドル損失 (EAD * LGD) が初期ポジション値 |κ|s に等しいと仮定します。さて、保険料は、
1_θ の期待値はデフォルトの確率であり、これを q に設定します。デフォルトのインジケーターは、AMM がデフォルトでない場合は 0 で、デフォルトの場合は 1 です。
したがって、私たちの保険料、式 (2) は、ポジション価値にリスク中立のデフォルト確率 q を乗じたものに単純化されます。 q 値はデジタル オプションの値に対応します。付録 B では、これが AMM にとって保守的な仮定である理由を直感的に説明します。実際、価格が期間内に少なくとも 2 倍になる確率が低い限り、保守的です。
デジタル オプションの価値に取引サイズ |κ|s を乗じて保険料を推定します。これは、オンチェーンで実装できるクローズドフォームのソリューションにつながります。
デジタル オプションの値 q は、あらゆるタイプの担保 M (ベース、クォート、またはデュアル通貨) に対して分析的に計算できるため、このアプローチを完全にオンチェーンで実装できます。図 1 は、保険料の概算と、式 (2) で与えられる κ で除算された予想損失を比較しています。
κs/M が大きくなるにつれて、デジタル オプションの近似では保険料が過大評価されます。 これは、十分な資本がある (κs/M 比率が低い) 場合はリスクを割安に設定しており、トレーダーのエクスポージャに比べて資本が減少すると、リスクを割高に評価し始めるため便利です。 したがって、次のセクションで詳しく説明するように、リベートも同様に高値であるため（したがってトレーダーにとって有益である）、価格設定はトレーダーが AMM を過剰なリスクにさらすことを妨げ、逆の取引に参入する動機を与えます。
トレーダーのインセンティブ
次のようにプレミアム q(κ) を価格 p に組み込みます。
このうち、sgn(.)のパラメータが正であれば計算結果は1、そうでなければ計算結果は-1となり、κはAMMリスクを最小化する取引サイズとなる。 これは、たとえば、ショート トレーダーで κ が負の場合、スポット価格 s を上回るショート取引をエントリーできるため、価格がスポットに向かって収束したときに利益を得ることができます。逆に、ロング トレーダーはスポット価格を上回るエントリーを行うことができます。 , 現物取引に比べて割高です。
図 1 からわかるように、一人当たり取引サイズ (κs/M) の値が低い場合、近似値 (「デジタル オプション」) は正確な保険価値に近いままであり、AMM がより高いリスクにさらされるとさらに高くなります。リスク 保険料の見積もり。 このプレミアムは、リスクを増加させるトレーダーに請求され、リスクを軽減するトレーダーに返還されます。 したがって、トレーダーには、AMM のネットエクスポージャーを最低点 κ-κ* まで減らすインセンティブがあります。 κ-κ* では、AMM の市場リスクが最も小さくなります。
結論は
私たちは、デリバティブ価格理論に基づいた新しい永久契約 AMM を提案します。私たちのアプローチは、トレーダーが契約終了時にポジションが確実に支払われるように信用保険に加入していることを前提としています。私たちのアプローチは保守的です。なぜなら、予想される損失を共同で見積もるのではなく、リスク中立のデフォルト確率を見積もっているからです。私たちのアプローチは完全にオンチェーンで実装でき、クローズド形式のソリューションにつながります。
これは技術的な記事ですが、DeFi や金融工学に興味がある人にとって興味深い視点を提供できることを願っています。私たちは、従来の金融のベストプラクティスとブロックチェーンテクノロジーを組み合わせることで、より優れた製品とサービスをDeFiコミュニティに提供できると信じています。
オリジナルの英語情報: https://medium.com/@d8x.exchange/applying-derivative-pricing- Theory-to-automated-market-making-for-perpetual-futures-aba831c80ad1