“Utilizziamo la consolidata teoria dei prezzi dei derivati TradFi per ricavare una strategia di market making automatizzata AMM. Questo articolo esplora le radici storiche della tecnologia e mostra come la applichiamo al market making. Con il meccanismo di determinazione dei prezzi risultante, se l'AMM rimane equilibrato, i trader lo faranno si troveranno ad affrontare uno slippage inferiore. Se l’AMM è esposto al rischio, lo slippage aumenterà e i trader saranno incentivati a coprire la propria esposizione netta all’AMM”.
Il modello di Merton per la determinazione del prezzo delle obbligazioni (Merton, 1974) presuppone che la società abbia un certo ammontare di debito con scadenza T. Se il valore degli asset della società al tempo T è inferiore al valore nominale del debito, la società andrà in default. In questo modello, il capitale dell'impresa è un'opzione call europea sulle attività dell'impresa con un prezzo di esercizio pari al valore nominale del debito. Questo modello può essere utilizzato per stimare la probabilità di default della società, proprio come il modello KMV Merton commercializzato da Moody’s Company [Bharat, Shumway, 2008], e può anche essere utilizzato per prezzare il debito a rischio di credito della società [Moody’s, 2022].
A seguito della letteratura pubblicata da Merton nel 1974, emersero altri modelli di rischio di default. Nel modello [Black, Cox, 1976], un'impresa può andare in default anche prima della scadenza T, mentre la soglia di default fissata nell'approccio di Merton è ora dinamica. Soprattutto con l'avvento dei derivati creditizi alla fine degli anni '90, i modelli che astraggono il bilancio di una società (detti modelli semplificati) hanno cominciato ad attirare l'attenzione. Per i dettagli sul modello strutturale e sul modello semplificato, consultare l'Appendice A.
Sia i modelli strutturali che i modelli semplificati sono metodi efficaci per simulare il rischio di default e prezzare il credito. Entrambi i modelli possono essere calibrati a partire da dati storici e talvolta vengono combinati in una forma “ibrida”. Quando questi modelli vengono utilizzati per la determinazione del prezzo, seguono tutti il principio della valutazione neutrale rispetto al rischio.
valutazione neutrale al rischio
In poche parole, questo principio afferma che il valore di un’attività è pari al valore dei flussi di cassa attesi e scontati. Il valore atteso non viene calcolato utilizzando le probabilità del mondo reale, ma piuttosto probabilità costruite estratte dai prezzi di altri asset. Si potrebbe dire molto di più su questo metodo di valutazione, ma ai fini di questo articolo, il punto principale è sapere che questo è il metodo per prezzare i derivati, come le opzioni call e put europee, i CDS o i prodotti strutturati. Per gli analisti quantitativi con cui collaboriamo al D8X, [Björk, 2009] è un buon riferimento per le valutazioni neutrali rispetto al rischio.
L’AMM perpetuo è esposto ai rischi di mercato
Gli Automated Market Maker (AMM) sono alternative DeFi ai mercati degli ordini. Gli AMM utilizzano formule per determinare il prezzo di una determinata operazione, anziché abbinare ordini limite e di mercato in un sistema basato su order book.
Supponiamo che ci sia un solo trader lungo 1 ETH nel contratto perpetuo (vedi ad esempio [Deribit 2022] per una spiegazione dei contratti perpetui). Se il prezzo dell’ETH aumenta del 20%, l’AMM deve al trader una parte del guadagno. Allo stesso modo, se il prezzo scende del 20%, l'AMM ridurrà il margine del trader dell'importo della perdita. In breve, gli AMM sono esposti ai rischi di mercato.
Se c'è un altro trader che va short su 1 ETH e il prezzo sale del 20%, il trader short perde il 20% e il trader long guadagna il 20%, e viceversa se il prezzo scende del 20%. In questo esempio, l’AMM ha una compensazione del rischio di mercato pari a zero: indipendentemente da come si muove il prezzo, l’AMM non genererà né perdite né guadagni.
In sintesi, per gli AMM è meglio avere un’esposizione netta pari a zero. A rigor di termini, lo "zero" si applica solo ai contratti perpetui lineari. In questo articolo, ci concentreremo sui contratti perpetui lineari, in cui la garanzia è nella valuta quotata detenuta (ad esempio, per il contratto perpetuo ETH-USDC, la garanzia è USDC).
AMM come assicuratore
Per determinare il prezzo del contratto perpetuo D8X, presupponiamo che i trader stipulino il contratto al prezzo spot e, se aumentano la loro esposizione ad AMM, acquistino anche un'assicurazione sul credito da AMM. L'assicurazione del credito è progettata per garantire che quando un trader chiude una posizione, l'importo stabilito nel contratto venga pagato al trader. Se i trader riducono la loro esposizione all’AMM, riceveranno un rimborso. Se l'AMM non dispone di fondi quando un trader desidera effettuare un regolamento, l'importo da pagare deve essere pagato da un fondo di default (ovvero riserve di capitale aggiuntive). L'accordo con AMM prevede quindi anche il possibile accesso ai fondi assicurativi. A seconda dello stato dell’AMM, il premio assicurativo è più elevato o, come vedremo, i trader ottengono il rimborso del premio se riducono la loro esposizione all’AMM.
Approfondimento: modello strutturale dei futuri perpetui AMM
Come valutiamo questa assicurazione del credito? Similmente al modello di determinazione del prezzo delle obbligazioni di Merton, assumiamo un orizzonte temporale fisso T. Per spiegare questo concetto, assumiamo innanzitutto che l'AMM abbia un solo trader e una M maiuscola espressa nella valuta di quotazione (es. USDC). Il trader inserisce una posizione (con segno) di dimensione κ al prezzo dell'indice s. Il profitto del trader alla fine del periodo fissato è
dove s è il prezzo di entrata, s⋅exp(rmber) è il prezzo di uscita e rmber è il rendimento logaritmico. Ora, il valore di un premio assicurativo è il suo valore atteso scontato secondo una misura di probabilità neutrale rispetto al rischio. Supponendo che il tasso di interesse privo di rischio sia pari a zero e che il termine di sconto scompaia, il valore atteso è il seguente:
dove M è il capitale della AMM, escluso il capitale del fondo di garanzia. Per comprendere intuitivamente questo termine, la prima cosa da notare è che se il capitale AMM M è abbastanza grande, è molto probabile che il capitale verrà recuperato, e il valore dell’assicurazione sarà basso (in questo caso In questo caso, il primo termine della funzione max è per r. La maggior parte delle implementazioni di sono negative, quindi il valore della funzione max è 0). In secondo luogo, se M è 0, il valore dell'assicurazione corrisponde al profitto atteso del trader (poiché l'assicurazione copre tutti i profitti). Infine, se M è relativamente piccolo, parte del profitto del commerciante può essere pagato con il capitale AMM e parte del profitto deve essere pagata tramite assicurazione. Attraverso questa spiegazione dell'ipotesi, dovremmo avere una comprensione intuitiva della formula (2).
Per il rendimento lognormale, la valutazione e l'analisi possono essere effettuate tramite la formula (2) Se la garanzia M è la valuta di quotazione o la valuta di base (ad esempio, il contratto perpetuo ETH-USD è ETH o USD). Se la garanzia è una terza valuta (prendendo come esempio il contratto perpetuo ETH-USD, è BTC), non esiste una forma chiusa e il valore atteso deve essere calcolato tramite il metodo Monte Carlo. Per i dettagli su questa approssimazione si rimanda all’Appendice B del Libro bianco [Maire, Hernandez, 2022].
In sintesi, la formula (2) ci fornisce il premio assicurativo che l’AMM vorrebbe addebitare ai trader per mantenere il fondo di default dell’AMM.
Poiché la formula del prezzo deve essere implementata sulla blockchain, nella sezione successiva semplificheremo il premio assicurativo.
Metodo di stima del banchiere
Il settore bancario stima le perdite attese su crediti come PD EAD LGD, cfr. [BIS 2005] per maggiori dettagli, dove PD è la probabilità di default, EAD è l’esposizione al default (importo in termini monetari) e LGD è la perdita dopo il default (un termine relativo). Ciò significa che questo metodo non stima congiuntamente le perdite attese come i metodi sopra menzionati, ma presuppone che la perdita in caso di default, l’esposizione al default e la probabilità di default siano indipendenti. Questo approccio viene utilizzato anche per la determinazione del prezzo del credito, vedere [Moody’s 2022] per i dettagli.
Seguendo questa linea di pensiero, assumiamo che la perdita in dollari (EAD * LGD) sia pari al valore della posizione iniziale |κ|s. Ora, il premio assicurativo diventa
Il valore atteso di 1_θ è la probabilità di default, che impostiamo a q. L'indicatore predefinito è 0 quando l'AMM non è predefinito ed è 1 quando è predefinito:
Pertanto, il nostro premio assicurativo, l’equazione (2), ora si semplifica moltiplicando il valore della posizione per la probabilità di default neutrale al rischio, q. Il valore q corrisponde al valore dell'opzione digitale. Nell’Appendice B forniamo una spiegazione intuitiva del motivo per cui questa è un’ipotesi conservativa per l’AMM. In effetti, è conservativo finché la probabilità che il prezzo almeno raddoppi in un periodo è bassa.
Stimiamo il premio assicurativo moltiplicando il valore dell'opzione digitale per la dimensione dell'operazione |κ|s. Ciò porta a una soluzione in forma chiusa che possiamo implementare on-chain.
Il valore q di un'opzione digitale può essere calcolato analiticamente per tutti i tipi di garanzia M (base, quotazione o doppia valuta), quindi possiamo implementare questo approccio interamente on-chain. La Figura 1 confronta l'approssimazione del premio assicurativo con la perdita attesa divisa per κs data dall'Eq.
Man mano che κs/M cresce, l’approssimazione dell’opzione digitale sovrastima il premio assicurativo. Ciò è utile perché se il capitale è sufficiente (il rapporto κs/M è basso), stiamo sottovalutando il rischio e, man mano che il capitale diminuisce rispetto all'esposizione del trader, iniziamo a sopravvalutare il rischio. I prezzi quindi disincentivano i trader dal sottoporre gli AMM a rischi eccessivi e incentivano l’ingresso dell’operazione opposta, poiché gli sconti sono altrettanto costosi (e quindi vantaggiosi per i trader), come spiegheremo in dettaglio nella sezione successiva.
Incentivi per i commercianti
Incorporiamo il premio q(κ) nel prezzo p come segue:
Tra questi, se il parametro di sgn(.) è positivo, il risultato del calcolo è 1, altrimenti il risultato del calcolo è -1, e κ è la dimensione della transazione che minimizza il rischio AMM. Ciò significa che, ad esempio, se sei un trader short e κ è negativo, puoi inserire un'operazione short al di sopra del prezzo spot s in modo da poter trarre profitto quando il prezzo converge verso lo spot, al contrario, un trader long entra al di sopra dello spot; , Questo è costoso rispetto al trading spot.
Come possiamo vedere nella Figura 1, per valori inferiori della dimensione dell’operazione pro capite (κs/M), l’approssimazione (“opzione digitale”) rimane vicina all’esatto valore assicurato e sarà maggiore se l’AMM è esposto a maggiori rischio Stima dei premi assicurativi. Questo premio viene addebitato ai trader che aumentano il rischio e restituito ai trader che riducono il rischio. Pertanto, i trader sono incentivati a ridurre l’esposizione netta AMM al punto più basso κ-κ*. A κ-κ*, AMM presenta il rischio di mercato più basso.
Insomma
Proponiamo un nuovo AMM a contratto perpetuo basato sulla teoria dei prezzi dei derivati. Il nostro approccio presuppone che i trader acquistino un'assicurazione sul credito per garantire che le loro posizioni vengano pagate alla fine del contratto. Il nostro approccio è conservativo perché stimiamo la probabilità di default neutrale rispetto al rischio piuttosto che stimare congiuntamente la perdita attesa. Il nostro approccio può essere implementato interamente on-chain e porta a una soluzione in forma chiusa.
Questo è un articolo tecnico, ma speriamo che fornisca una prospettiva interessante per chi è interessato alla DeFi e all'ingegneria finanziaria. Crediamo che combinando le migliori pratiche della finanza tradizionale con la tecnologia blockchain, possiamo fornire prodotti e servizi migliori alla comunità DeFi.
Informazioni originali in inglese: https://medium.com/@d8x.exchange/applying-derivative-pricing-theory-to-automated-market-making-for-perpetual-futures-aba831c80ad1