Vous êtes sur le point de découvrir quelque chose que le marché essaie de vous enseigner depuis votre toute première transaction : le marché se fiche de votre opinion. Il se fiche de vos prévisions sur ce qui va se passer au prochain trimestre. Il se fiche encore plus de l’histoire que vous vous êtes racontée pour expliquer pourquoi une action en particulier va s’envoler ou s’effondrer. Le marché fonctionne avec des chiffres et, si vous voulez en tirer des profits de façon régulière, vous devez parler son langage. Ce langage, ce sont les mathématiques.
Voici l’introduction de mon livre « Le trading, c’est des mathématiques »
La plupart des traders perdent de l’argent. Les études montrent régulièrement que 70 à 90 % des traders particuliers sont perdants. Mais voici ce qui est intéressant : le marché lui-même n’est pas conçu pour vous faire perdre. C’est simplement une machine qui traite l’information et exécute des transactions en fonction de l’offre et de la demande. Si la plupart des traders échouent, ce n’est pas parce que le marché est truqué. C’est parce qu’ils jouent à un jeu mathématique en utilisant principalement leurs émotions, leurs opinions et leurs récits.
Lorsque vous effectuez une transaction parce que vous avez le « pressentiment » qu’une action va monter, que faites-vous réellement ? Vous engagez de l’argent réel en vous fondant sur quelque chose que vous ne pouvez ni mesurer, ni reproduire, ni améliorer de manière systématique. Vous pourriez avoir de la chance plusieurs fois de suite. Mais sur des centaines, voire des milliers de transactions, la chance s’équilibre. Ce qui reste, c’est votre avantage. Et si vous pensez que cet avantage repose sur des opinions bien arrêtées et de bonnes prédictions plutôt que sur des principes mathématiques, alors vous n’avez pas vraiment d’avantage.
Prenons le cas d’un trader qui achète une action après avoir lu un article sur le potentiel de l’entreprise. Il l’achète à 50 $. Lorsque le cours baisse à 45 $, puis à 40 $, il se rassure en se disant que ce n’est que temporaire et peut même en acheter davantage. Quand le cours atteint 30 $, soit il vend à perte, soit il conserve ses titres, tiraillé entre ses convictions et la réalité du marché.
Imaginons maintenant un autre trader qui aborde la même action avec une approche mathématique. Avant d’entrer en position, il calcule la taille de sa position en fonction de la valeur de son compte et détermine qu’il risquera exactement 1 % de son capital total sur cette transaction. Il fixe son point d’entrée à 50 $ et son stop-loss à 47,50 $, soit une baisse de 5 %, en fonction de l’amplitude vraie moyenne de l’action et de ses récents niveaux de support. Son objectif est de 57,50 $, ce qui lui donne un ratio rendement-risque de 3:1. Lorsque l’action atteint 47,50 $, son stop-loss se déclenche automatiquement. Il perd 1 % de son capital, exactement comme prévu, puis passe à l’occasion suivante. Sur 100 transactions de ce type, même avec un taux de réussite de 40 %, ce trader sera rentable, car ses calculs garantissent que ses gains sont nettement supérieurs à ses pertes : il coupe rapidement ses pertes et laisse courir ses gains. Il lui suffit de se concentrer sur la recherche d’actions capables, en moyenne, de monter trois fois plus vite qu’elles ne baissent.
C’est la différence fondamentale entre le trading fondé sur les mathématiques et le trading fondé sur des récits. Les mathématiques vous fournissent un cadre qui fonctionne, quelle que soit l’issue d’une transaction particulière. Les récits vous donnent de l’espoir, mais l’espoir n’est pas une stratégie.
Taille des positions : le fondement du trading mathématique
Le trading mathématique consiste à définir chaque aspect de votre approche en termes quantifiables et à appliquer ces paramètres avec discipline. Cela commence par la taille des positions, sans doute le concept mathématique le plus important en trading.
La plupart des traders débutants repèrent une action qui leur plaît, puis investissent autant qu’ils se sentent à l’aise de le faire. Peut-être 1 000 $, peut-être 10 000 $. Le montant est déterminé par l’émotion plutôt que par les principes de gestion du risque.
Le calcul mathématique de la taille des positions fonctionne autrement. Supposons que vous disposiez d’un compte de trading de 100 000 $ et que vous ayez décidé de risquer 1 % de votre capital, soit une perte potentielle de 1 000 $ sur une seule transaction. La taille de la position correspond au nombre d’actions achetées. Elle se calcule en fonction du risque par transaction et du montant que vous pourriez perdre par action. Par exemple, si vous achetez une action à 50 $ avec un stop-loss à 47,50 $ (le prix auquel vous avez décidé de sortir de la transaction si le marché évolue contre vous), votre risque par action est de 2,50 $. Pour risquer 1 000 $ au total, vous divisez 1 000 $ par 2,50 $, ce qui signifie que vous achetez 400 actions. Vous choisissez ce nombre non pas parce que l’action vous plaît, mais parce qu’il correspond exactement aux paramètres de risque que vous avez déterminés mathématiquement.
Cette approche normalise le risque pour toutes vos transactions. Que vous négociiez une action à 10 $ ou à 500 $, que votre stop-loss soit serré ou large, vous risquez le même pourcentage de votre capital. Vos résultats deviennent ainsi statistiquement significatifs. Vous pouvez calculer votre espérance mathématique, déterminer si votre stratégie présente un avantage et améliorer systématiquement votre approche.
Espérance mathématique : comprendre votre avantage
L’espérance mathématique, souvent abrégée en EV, est un calcul statistique qui exprime le résultat moyen d’une action au fil du temps. Elle se calcule en multipliant chaque résultat par sa probabilité, puis en additionnant les produits. En trading, vous la calculez en multipliant votre gain moyen par transaction par votre taux de réussite, puis en soustrayant le produit de votre perte moyenne par transaction par votre taux de perte.
Supposons que votre stratégie de trading soit gagnante 45 % du temps, avec un gain moyen de 1 500 $ par transaction gagnante. Elle est perdante 55 % du temps, avec une perte moyenne de 500 $ par transaction perdante. Votre espérance mathématique par transaction serait de (0,45 × 1 500 $) - (0,55 × 500 $) = 675 $ - 275 $ = 400 $. Sur 100 transactions, vous pouvez espérer gagner environ 40 000 $. Ces chiffres devraient ressortir de vos résultats de trading antérieurs ou, si vous débutez, d’un test rétrospectif de votre stratégie sur des graphiques historiques.
C’est pourquoi les traders qui comprennent les mathématiques ne se laissent pas emporter par leurs émotions face à une transaction isolée. Ils savent qu’une seule transaction n’est qu’un échantillon d’une distribution statistique plus large. La transaction gagnante qu’ils viennent de clôturer ne prouve pas qu’ils sont des génies. La transaction perdante ne prouve pas qu’ils sont mauvais en trading. Ce ne sont que des données qui contribuent à leur espérance mathématique globale.
Ratios risque-rendement : la clé de la rentabilité
Un ratio risque-rendement (également appelé ratio rendement-risque) compare le montant que vous risquez au montant que vous espérez gagner sur une transaction. Par exemple, si vous risquez 500 $ pour en gagner potentiellement 1 500 $, votre ratio risque-rendement est de 1:3. Ce chiffre détermine le taux de réussite minimal nécessaire pour être rentable.
Avec un ratio risque-rendement de 1:3, un taux de réussite légèrement supérieur à 25 % suffit pour être rentable. Vous pouvez vous tromper trois fois sur quatre et quand même gagner de l’argent. Si vous effectuez quatre transactions en risquant 500 $ chacune et que vous perdez trois fois tout en gagnant une fois, vous perdez 1 500 $ sur les transactions perdantes, mais gagnez 1 500 $ sur la transaction gagnante. Vous atteignez l’équilibre. Dépassez légèrement les 25 % de réussite et vous serez rentable, même si vos pertes sont plus fréquentes que vos gains.
Comparez cela au cas d’un trader qui utilise un ratio risque-rendement de 1:1. Ce trader doit gagner plus de 50 % du temps simplement pour atteindre l’équilibre après prise en compte des commissions et du slippage. C’est beaucoup plus difficile que de devoir avoir raison seulement 26 % du temps. Avec un ratio risque-rendement de 1:1, il faut également maintenir toutes les pertes à un niveau très bas pour être rentable : vous ne pouvez pas laisser certaines pertes devenir incontrôlables, puisqu’aucun gros gain ne viendra les compenser.
Le trading mathématique en pratique
Imaginez que vous observiez une action qui évolue dans une fourchette comprise entre 30 $ et 35 $ depuis trois mois. Elle se négocie actuellement à 30,25 $. Un trader guidé par un récit pourrait y voir une action qui « se prépare à sortir de sa consolidation ». Il pourrait acheter en fonction de ses convictions, sans cadre pour savoir quand il a tort.
Un trader mathématique adopte une approche différente. Il constate que le niveau de 30 $ a servi de support à plusieurs reprises. Il entre en position à 30,25 $ et place son stop-loss à 29,50 $, juste sous le niveau de support. Son objectif est de 34,50 $, juste avant la résistance. Son risque est de 0,75 $ par action et son gain potentiel de 4,25 $ par action, soit un ratio risque-rendement de 1:5,67.
Avec un compte de 100 000 $ et une règle de risque de 1 %, il est prêt à perdre 1 000 $. En divisant 1 000 $ par 0,75 $, il obtient une taille de position de 1 333 actions. Il définit un stop-loss, un stop suiveur et un objectif de profit, puis entre en position et attend. L’action atteint soit le stop-loss, soit le stop suiveur, soit l’objectif de profit. Aucun ajustement en fonction des actualités ou des émotions : les calculs ont tout déterminé. Il ne reste plus qu’à exécuter.
Les mathématiques des drawdowns et de la récupération
Si vous perdez 10 % de votre capital, vous devez gagner 11,1 % sur le capital restant pour revenir à l’équilibre. Si vous perdez 25 %, vous devez gagner 33,3 % pour récupérer. Si vous perdez 50 %, vous devez gagner 100 % pour revenir à votre point de départ.
Ces faits montrent pourquoi il est crucial de protéger votre capital. Une perte de 50 % de la valeur de votre compte rend la remontée beaucoup plus difficile qu’une perte de 10 %. C’est pourquoi de nombreux traders qui réussissent ne risquent que 1 à 2 % de leur capital par transaction.
La puissance de la capitalisation
La croissance composée est exponentielle, et non linéaire. Si vous obtenez régulièrement un rendement mensuel de 2 %, vous ne gagnerez pas 24 % en un an, mais environ 26,8 %, car les gains de chaque mois s’ajoutent à la base de calcul du rendement du mois suivant. Sur cinq ans, ce même rendement mensuel de 2 % atteint environ 228 % grâce à la capitalisation. Sur dix ans, il grimpe à près de 1 000 %.
Un trader qui gagne 2 % chaque mois obtient de meilleurs résultats qu’un trader qui gagne 50 %, puis perd 30 %. La capitalisation régulière est récompensée ; la volatilité est pénalisée.
La voie à suivre
Le marché récompense ceux qui respectent sa nature mathématique. Il punit ceux qui tentent de le déjouer avec leurs opinions et leurs prédictions. Tous les professionnels du trading qui réussissent, tous les fonds spéculatifs quantitatifs et tous les systèmes de trading algorithmique fonctionnent selon des principes mathématiques.
Ce livre vous guide à travers les fondements mathématiques du trading rentable. Chaque chapitre présentera des formules et des calculs précis, ainsi que des façons d’appliquer la réflexion mathématique à vos décisions de trading. Certains concepts remettront en question vos convictions actuelles. D’autres vous sembleront contre-intuitifs. Mais tous reposent sur des vérités mathématiques.
Le trading, c’est des mathématiques. Votre opinion sur une action ne fait pas bouger son cours. Votre prédiction ne change pas ce qui se passe. Votre récit ne vous donne pas raison. En revanche, appliquer les bonnes mathématiques avec discipline et régularité vous donne un avantage qui se capitalise au fil du temps et se transforme en profits substantiels et durables.
Appliquer les mathématiques : étapes pratiques pour un trading mathématique
Calculez le risque maximal par transaction comme un pourcentage fixe de la valeur totale de votre compte, généralement entre 0,5 % et 2 %, et ne vous écartez jamais de ce chiffre, quel que soit votre degré de confiance dans une transaction.
Déterminez la taille de votre position pour chaque transaction en divisant le montant que vous êtes prêt à risquer par votre risque par action, c’est-à-dire la différence entre votre prix d’entrée et votre prix stop-loss. Vous garantirez ainsi un risque constant pour toutes vos positions.
Définissez votre stop-loss avant d’entrer dans une transaction en identifiant un niveau technique, une zone de support ou de résistance, ou un pourcentage qui représente votre perte maximale acceptable, puis passez immédiatement cet ordre stop-loss après votre entrée.
Calculez le ratio risque-rendement de chaque transaction potentielle en divisant votre profit potentiel par votre perte potentielle, et ne prenez que les transactions offrant un ratio d’au moins 2:1, conformément aux exigences de votre stratégie.
Consignez chaque transaction dans un tableur ou un journal, en notant votre prix d’entrée, votre prix de sortie, la taille de votre position, votre profit ou votre perte en dollars et en pourcentage, afin de calculer au fil du temps votre taux de réussite réel ainsi que vos gains et pertes moyens.
Calculez régulièrement votre espérance mathématique en multipliant votre taux de réussite par votre gain moyen, puis en soustrayant le produit de votre taux de perte par votre perte moyenne, afin de vérifier que votre système de trading présente un avantage mathématique positif.
Examinez régulièrement votre drawdown maximal en calculant la plus forte baisse entre un sommet et un creux de votre compte, puis déterminez le pourcentage de gains nécessaire pour récupérer vos pertes. Vous comprendrez ainsi la nature asymétrique des baisses et des reprises.
Appliquez la formule de croissance composée pour projeter des rendements réalistes au fil du temps. Gardez à l’esprit que des rendements mensuels réguliers de 1 à 2 % peuvent créer une richesse considérable à long terme grâce à une croissance exponentielle plutôt qu’à une simple addition linéaire.
Fixez vos objectifs de profit en vous fondant sur des probabilités mathématiques : mesurez la distance jusqu’aux niveaux de résistance, les fourchettes de prix récentes ou les multiples de l’amplitude vraie moyenne, plutôt que d’utiliser des chiffres arbitraires ou des seuils dictés par l’émotion.
Calculez le taux de réussite minimal requis pour être rentable avec votre ratio risque-rendement actuel à l’aide de la formule suivante : taux de réussite minimal = 1 / (1 + ratio risque-rendement). Vous saurez ainsi exactement à quelle fréquence vous devez avoir raison pour gagner de l’argent.
Nous approfondirons chacun de ces principes mathématiques, et bien d’autres, dans la suite de ce livre. Cette introduction avait simplement pour but de poser le cadre que nous allons maintenant explorer.
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