Trader la distribution, sans être obsédé par les résultats à court terme
Vous ne saurez jamais ce que le marché va faire. Personne ne le sait. L’analyste à la télévision ne le sait pas, et le gestionnaire de fonds qui s’exprime avec assurance ne le sait pas non plus. Vous non plus, même si votre graphique semble excellent au moment où vous entrez en position. Si vous comprenez cette idée, vous avez déjà une longueur d’avance sur la plupart des gens avec qui vous tradez. La plupart des gens de l’autre côté de vos transactions passeront tout leur temps à poursuivre une chose impossible : prédire l’avenir.
Ceci est le chapitre 1 de mon livre : Comment trader comme un mathématicien : stratégies quantitatives de gestion des transactions, gestion des risques et modèles mathématiques pour maîtriser le marché boursier.
Une personne qui veut négocier comme un mathématicien adopte une approche tout à fait différente. Elle attribue des probabilités à divers scénarios futurs, puis structure ses décisions de sorte que les mathématiques jouent en sa faveur au fil de nombreuses répétitions. C’est le changement radical que ce chapitre vous invite à opérer. Au lieu de demander : « Que va faire cette action ensuite ? », posez-vous une meilleure question : « À quoi ressemble la distribution des résultats de cette transaction, et les mathématiques me restent-elles favorables si j’effectue exactement cette transaction cent fois ? »
L’état d’esprit du propriétaire de casino
Voyons comment fonctionne la salle d’un casino. Lorsqu’un joueur s’assoit à une table de roulette, le casino ne sait pas si ce tour précis lui fera gagner ou perdre de l’argent. Le joueur pourrait tomber sur son numéro et repartir avec trente-cinq fois sa mise. Le casino ne s’en formalise pas. Sur une roulette américaine, il y a 38 cases : les nombres de 1 à 36, plus 0 et 00. Un pari sur un seul numéro rapporte 35 contre 1. Le joueur a donc une probabilité de gagner de 1 sur 38 et une probabilité de perdre de 37 sur 38. Pour chaque dollar misé, le profit attendu du casino est de :
Profit attendu du casino = (37/38 × 1 $) − (1/38 × 35 $)
Cela équivaut à environ 0,0526 $, soit 5,26 cents par dollar misé. En pourcentage, la roulette américaine procure au casino un avantage de 5,26 %. Le casino ne gagnera pas exactement 5,26 % sur chaque courte période, mais à mesure que le nombre de mises augmente, son profit moyen tend généralement vers cette espérance mathématique.
Remarquez ce que le casino ne prend jamais la peine de faire. Il ne prédit jamais le résultat d’un tour. Il possède un petit avantage et laisse la loi des grands nombres le convertir en argent, nuit après nuit, table après table. N’importe quel soir, la maison peut perdre. Après dix mille tours, le résultat est presque certain. Voilà le modèle à suivre : négociez comme fonctionne la maison et évaluez chaque position comme le casino évalue une roulette, en fonction de l’espérance et jamais de l’opinion.
L’espérance : la seule question qui compte
L’espérance, ou EV, est le cœur mathématique du trading probabiliste. La formule :
EV = (probabilité de gain × gain moyen) − (probabilité de perte × perte moyenne)
Un résultat positif signifie que la transaction vaut la peine d’être répétée. Un résultat négatif signifie que vous faites lentement cadeau de votre argent au compte de quelqu’un d’autre, et cela reste vrai, peu importe la force de votre conviction à propos de la configuration ou le nombre de personnes sur les réseaux sociaux qui sont d’accord avec vous. Voilà pourquoi l’EV est la seule question qui compte.
Passons aux chiffres concrets. Supposons que vous ayez suivi une configuration précise dans votre journal de trading, comme un repli vers la moyenne mobile à 20 jours d’une action en tendance haussière. Sur 100 occurrences, 45 transactions ont été gagnantes et 55 perdantes. Vos transactions gagnantes ont rapporté en moyenne 2,5R, R représentant le montant risqué par transaction, tandis que vos transactions perdantes ont accusé une perte moyenne de 1R, car vous avez systématiquement respecté votre stop-loss. Votre espérance estimée par transaction serait :
EV = (0,45 × 2,5R) − (0,55 × 1R)
EV = 1,125R − 0,55R = +0,575R
Cela signifie que cette configuration a historiquement rapporté en moyenne 0,575R par transaction. Si vous risquiez 100 $ par transaction, cela équivaudrait à un bénéfice moyen estimé de 57,50 $ par transaction. Cela ne signifie pas que chaque transaction rapportera 0,575R. Cela signifie que, sur un échantillon suffisamment important de transactions similaires, le résultat moyen devrait se rapprocher de ce montant si le taux de réussite et le ratio gains/pertes de la configuration restent stables.
Sur un nombre suffisamment important de transactions comparables, cette configuration a historiquement produit un gain moyen de 0,575R par transaction, même si elle perd plus souvent qu’elle ne gagne. Relisez cette phrase. Elle remet en question l’une des croyances les plus néfastes du trading : un trader rentable doit avoir raison la plupart du temps.
Un taux de réussite de 45 %, associé à un gain moyen de 2,5R et à une perte moyenne de 1R, crée une espérance fortement positive avant commissions, glissement et autres coûts de transaction. À l’inverse, une stratégie affichant un taux de réussite de 70 % peut tout de même perdre de l’argent si sa perte moyenne est trois fois supérieure à son gain moyen.
EV = (0,70 × 1R) − (0,30 × 3R)
EV = 0,70R − 0,90R = −0,20R par transaction
Ce trader peut avoir l’impression de réussir la plupart des jours de trading tout en perdant régulièrement du capital sur un grand échantillon de transactions. Le fait qu’il finisse ou non par faire faillite dépend du dimensionnement des positions, du capital disponible, de l’ordre des rendements et de la durée pendant laquelle il applique la stratégie à espérance négative.
C’est aussi pourquoi les opinions sans fondement sont dangereuses. Une opinion dit : « Apple va monter. » Une déclaration de trading fondée sur les probabilités dit : « D’après 100 occurrences historiques de cette configuration, environ 45 % ont atteint l’objectif de 2,5R avant de toucher le stop à 1R. Si ces résultats restent représentatifs et que les coûts d’exécution n’annulent pas l’avantage, la configuration présente une espérance estimée de +0,575R par transaction. »
Cette déclaration ne garantit pas le résultat de la prochaine transaction. Elle fournit une hypothèse vérifiable et des chiffres qui peuvent servir au dimensionnement des positions, à la gestion du risque et au suivi continu des performances. L’essentiel consiste à passer de la certitude et de la prédiction aux probabilités et à l’espérance.
Les transactions isolées ne signifient rien ; les échantillons signifient tout
Voyons maintenant ce qui pousse la plupart des traders à se saboter discrètement. Ils jugent leur système transaction après transaction. Ils prennent une transaction parfaitement valable, à espérance positive, elle se solde par une perte et ils concluent que la configuration est défectueuse. Ou bien ils prennent une très mauvaise transaction, à espérance négative, elle leur rapporte un gain et ils concluent qu’ils ont découvert un nouvel avantage. Ces deux conclusions sont mathématiquement absurdes, et je le dis avec affection, car je veux que cela vous pique un peu chaque fois que vous vous surprenez à agir ainsi.
Un résultat isolé vous apprend très peu de choses sur la qualité de la décision qui l’a produit. Lancez une pièce équilibrée dix fois : il y a environ 17 % de chances d’obtenir sept piles ou plus. Sept piles en dix lancers ne constituent pas une preuve solide que la pièce est truquée, car dix observations sont trop peu nombreuses pour distinguer la compétence, l’avantage ou le biais du hasard ordinaire.
Les traders commettent souvent la même erreur lorsqu’ils évaluent un système. Ils abandonnent une stratégie après une courte série de pertes, même lorsque cette série est compatible avec le taux de réussite attendu du système. Une stratégie qui affiche un taux de réussite de 45 % perd 55 % de ses transactions. La probabilité qu’une séquence de cinq transactions comporte cinq pertes consécutives est de :
0,55⁵ ≈ 5,03 %
Cela ne signifie pas qu’une série de cinq pertes se produira exactement une fois toutes les vingt transactions. Les séries peuvent se chevaucher, se regrouper ou ne pas apparaître pendant de longues périodes. Cependant, sur des centaines de transactions, une ou plusieurs séries de cinq pertes ne devraient pas surprendre. Une seule série de pertes ne fournit que peu d’éléments indiquant que l’avantage sous-jacent de la stratégie a disparu. Les séquences aléatoires produisent naturellement des regroupements de gains et de pertes.
La solution concrète consiste à établir des règles d’évaluation avant de négocier avec le système. Ne jugez pas une configuration à partir d’une poignée de résultats. Trente transactions peuvent fournir un premier indice, mais 50 à 100 transactions constituent un échantillon plus utile. Certaines stratégies en exigent beaucoup plus en raison de leur taux de réussite, de la distribution de leurs gains, de la fréquence des transactions et de leur sensibilité à l’évolution des conditions de marché.
Consignez chaque occurrence valide dans un journal de trading, en indiquant le point d’entrée, le stop, l’objectif, le stop suiveur, les conditions de marché, les coûts d’exécution et le résultat en multiples de R. Comparez ensuite le taux de réussite observé, le gain moyen, la perte moyenne, l’espérance et le repli aux hypothèses historiques de la stratégie.
Même un échantillon important ne prouve pas qu’un avantage perdurera indéfiniment. Il vous fournit une base statistique plus solide pour déterminer si les résultats récents sont compatibles avec la variation normale ou si la stratégie a peut-être considérablement changé. Le but n’est pas de remplacer entièrement le jugement, mais de veiller à ce qu’il repose sur des éléments probants plutôt que sur l’émotion, des résultats isolés ou le bruit à court terme.
Voyons comment cela se passe sous pression. Supposons que vous négociiez avec une stratégie de cassure et que vous ayez effectué 12 transactions, avec 4 gains et 8 pertes. Votre cerveau émotionnel crie que la stratégie ne fonctionne pas. Votre cerveau mathématique fait plutôt une vérification. Il se demande à quel point 4 gains sur 12 transactions seraient inhabituels si le taux de réussite réel était bien de 45 %, comme prévu. La loi binomiale donne la réponse : obtenir 4 gains ou moins sur 12 essais avec un taux de réussite de 45 % se produit environ un quart du temps. C’est normal. Cela revient à lancer un dé deux fois sans obtenir de six : vous ne diriez jamais que le dé est défectueux. Vous continuez donc à appliquer votre stratégie, car 12 transactions constituent un échantillon bien trop petit pour remettre en cause un avantage éprouvé.
Le dimensionnement des positions : là où la probabilité devient une question de survie
Raisonner en probabilités impose aussi une conclusion difficile en matière de dimensionnement des positions. Puisqu’une transaction isolée peut entraîner une perte, aucune transaction ne doit jamais avoir trop d’importance. Une configuration gagnante 45 % du temps vous fera connaître des séries de 5, 6, voire 8 pertes avec une certitude mathématique au cours d’une longue carrière. Votre dimensionnement des positions doit donc vous garantir de survivre à la pire série de pertes que les probabilités ont raisonnablement des chances de vous réserver tôt ou tard, et la gestion du risque doit assurer la survie de votre compte à l’avance.
Faites le calcul en risquant 10 % des fonds propres actuels de votre compte par transaction. Après huit pertes consécutives au risque maximal, il resterait sur le compte :
0,90⁸ ≈ 43,05 %
Cela correspond à un repli d’environ 56,95 %. Pour récupérer cette perte et retrouver le solde de départ, il faudrait un gain d’environ 132 %.
Appliquez maintenant la même série de huit pertes en risquant 1 % des fonds propres actuels par transaction :
0,99⁸ ≈ 92,27 %
Le compte subirait un repli d’environ 7,73 %. Pour récupérer cette perte, il faudrait un gain d’environ 8,38 %.
Pour une stratégie affichant un taux de réussite de 45 %, huit pertes consécutives sont peu probables sur une séquence de huit transactions, mais deviennent de plus en plus plausibles à mesure que le nombre de transactions augmente. Un trader qui s’appuie sur les probabilités dimensionne donc ses positions en fonction des séries de pertes susceptibles de se produire raisonnablement, et non en fonction du prochain gain attendu.
De nombreux traders disciplinés ne risquent qu’une petite fraction de leurs fonds propres sur chaque position, souvent entre 0,5 % et 2 %, bien que le montant dépende des replis historiques de la stratégie, de sa volatilité, de la corrélation entre les positions, de la fiabilité des ordres stop-loss et de la tolérance au risque du trader. Le principe est simple : le dimensionnement des positions doit permettre au compte de résister aux séries de pertes normales sans subir un repli si profond que le redressement devienne mathématiquement difficile ou psychologiquement insupportable.
Transformer les anticipations de marché en estimations de probabilité
Le marché ne vous donne pas les probabilités comme le ferait une roulette. Vous devez donc établir vos propres estimations, et trois sources fournissent l’essentiel du travail. Votre journal vient en premier : consignez chaque configuration, laissez votre taux de réussite réel et vos multiples R moyens alimenter vos estimations de probabilité, puis mettez-les à jour à mesure que l’échantillon s’étoffe.
Le backtest vient en deuxième. Avant d’engager du capital sur une configuration fondée sur des règles, testez-la sur un échantillon suffisamment important couvrant différents régimes de marché, niveaux de volatilité et conditions de tendance. Le but n’est pas seulement de prouver que la stratégie fonctionnera à l’avenir, mais aussi d’estimer son taux de réussite historique, son ratio gains/pertes, son espérance, ses replis et sa sensibilité aux changements des conditions de marché.
Le marché des options constitue une autre source d’information utile. Les prix des options peuvent servir à calculer des estimations de probabilité neutres au risque fondées sur un modèle, à partir de la volatilité implicite, des prix d’exercice, des dates d’échéance et de la forme du biais de volatilité. Ces estimations ne prédisent pas les véritables probabilités futures du titre, mais montrent comment le marché des options évalue l’incertitude à cet instant.
Supposons qu’une action se négocie à 100 $ et que les options à un mois indiquent une fourchette attendue d’environ 92 $ à 108 $. Cette fourchette est souvent interprétée comme représentant environ un écart-type, soit quelque 68 % selon une hypothèse simplifiée de distribution normale. Cela ne garantit pas que l’action ait exactement 68 % de chances de rester dans cette fourchette, mais fournit un repère utile pour déterminer si votre objectif de cours est cohérent avec le mouvement actuellement intégré dans les prix du marché des options.
Si votre transaction exige que l’action atteigne 120 $ en un mois, vous pouvez examiner les prix des options pour estimer à quel point le marché juge ce résultat improbable. Si un modèle lui attribue une probabilité d’environ 5 %, un pari binaire sur cet événement nécessiterait un gain net d’environ 19 contre 1 simplement pour atteindre le seuil de rentabilité, avant frais :
Gain au seuil de rentabilité = (1 − 0,05) ÷ 0,05 = 19 contre 1
Une transaction classique sur actions est plus complexe, car son espérance dépend aussi du niveau du stop-loss, du parcours du cours, des sorties partielles, du glissement et du fait que l’objectif doive simplement être atteint ou maintenu jusqu’à l’échéance. La comparaison reste néanmoins utile. Si votre objectif se situe bien au-delà de la distribution implicite des options et que le gain potentiel ne compense pas la faible probabilité estimée, la transaction n’offre peut-être pas une espérance favorable.
Le backtesting, les données de marché observées et les distributions implicites des options n’éliminent pas l’incertitude. Ils transforment des prévisions vagues en hypothèses mesurables qui peuvent être testées, intégrées au dimensionnement des positions et réévaluées avant d’engager du capital.
Une mise en garde honnête s’impose ici. Vos estimations de probabilité seront toujours imparfaites. Les marchés évoluent, les avantages s’érodent et les fréquences passées restent des estimations, jamais des garanties. Des données parfaites sont hors de portée, et ce n’est pas grave : des probabilités approximativement justes, associées à un dimensionnement prudent, joueront en votre faveur à long terme si vous restez fidèle à votre stratégie. Si vous vous trompez quelque peu sur l’ampleur de votre avantage dans ce cadre, l’erreur entamera vos résultats au lieu de détruire votre compte. Une personne qui pense comme un mathématicien intègre directement l’humilité à la taille de ses positions.
La pratique quotidienne
La routine elle-même est courte. Avant chaque transaction, notez trois chiffres : votre probabilité de gain estimée, votre gain exprimé en R et votre risque de 1R. Calculez l’espérance. Si le résultat n’est pas clairement positif, passez votre tour, quels que soient les cris de vos impulsions. Après chaque transaction, consignez le résultat sans porter de jugement : un résultat isolé n’est qu’un point de données parmi ceux d’une distribution que vous avez déjà acceptée au moment où vous avez cliqué sur le bouton d’achat. Une fois par mois, examinez vos échantillons par configuration, recalculez vos taux de réussite et vos gains réels, puis ajustez vos estimations. Gérez-vous comme un responsable de salle qui parcourt le casino à la fermeture et vérifie que chaque table est correctement gérée afin de préserver son avantage.
Une chose utile se produit dans votre psychologie lorsque cette habitude s’installe. Les pertes cessent d’être perçues comme des échecs. Une perte subie sur une transaction à espérance positive, avec une taille adaptée et un stop respecté, compte à tous égards comme une transaction correctement exécutée sur le plan mathématique. Consignez-la, notez le multiple R et passez à la prochaine entrée de la file.
Mettre ces principes en pratique dans votre plan de trading
Inscrivez une exigence d’espérance dans votre plan : aucune transaction n’est prise à moins que EV = (% de gains × gain moyen) − (% de pertes × perte moyenne) soit positif, d’après les données de trading issues de backtests ou de votre journal.
Avant chaque entrée, consignez par écrit vos trois paramètres (probabilité de gain estimée, gain en multiples de R et risque de 1R), puis calculez l’EV.
Fixez un risque par transaction de 0,5 à 2 % des fonds propres du compte afin que les séries de pertes de 5 à 8 transactions, mathématiquement inévitables, entraînent des replis dont vous pourrez vous remettre.
Définissez une règle de taille minimale d’échantillon : aucune configuration ne doit être évaluée, modifiée ou abandonnée avant d’avoir enregistré au moins 30 transactions, et de préférence 50 à 100.
Consignez chaque transaction dans un journal avec le point d’entrée, le stop, l’objectif et les résultats en multiples de R, en indiquant la configuration, afin que vos estimations de probabilité reposent sur des données plutôt que sur des impressions.
Lorsqu’une série de pertes survient, faites le calcul binomial pour vérifier si elle est statistiquement normale compte tenu de votre taux de réussite avant de changer quoi que ce soit.
Servez-vous de la volatilité implicite pour vérifier les probabilités de vos transactions : si le marché évalue votre objectif comme un événement peu probable, exigez un gain suffisant pour le justifier, ou passez votre tour.
Prévoyez un examen mensuel pour recalculer, pour chaque configuration, le taux de réussite réel, le gain moyen et la perte moyenne, puis mettez à jour vos paramètres d’EV en conséquence.
Bannissez le langage prédictif de votre processus : remplacez « ça va monter » par une déclaration écrite indiquant la probabilité et le gain potentiel de chaque transaction.
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