„Využíváme zavedenou teorii oceňování derivátů TradFi k odvození strategie automatizované tvorby trhu AMM Tento článek zkoumá historické kořeny této technologie a ukazuje, jak ji aplikujeme na tvorbu trhu s výsledným cenovým mechanismem, pokud AMM zůstane vyvážený čelí nižšímu prokluzu Pokud je AMM vystavena riziku, prokluz se zvýší a obchodníci budou motivováni k zajištění své čisté expozice AMM.
Mertonův model oceňování dluhopisů (Merton, 1974) předpokládá, že společnost má určitou výši dluhu se splatností T. Pokud je hodnota majetku společnosti v čase T nižší než nominální hodnota dluhu, společnost se dostane do prodlení. V tomto modelu je vlastní kapitál firmy evropskou kupní opcí na aktiva firmy s realizační cenou rovnou nominální hodnotě dluhu. Tento model lze použít k odhadu pravděpodobnosti selhání společnosti, stejně jako model KMV Merton komercializovaný společností Moody's Company [Bharat, Shumway, 2008], a lze jej také použít k ocenění dluhu společnosti v oblasti úvěrového rizika [Moody's, 2022].
V návaznosti na literaturu publikovanou Mertonem v roce 1974 se objevily další standardní rizikové modely. V modelu [Black, Cox, 1976] může firma také před splatností T splácet, zatímco výchozí práh, který byl stanoven v Mertonově přístupu, je nyní dynamický. Zejména s rozmachem úvěrových derivátů na konci 90. let začaly přitahovat pozornost modely, které abstrahují rozvahu společnosti (tzv. zjednodušené modely). Podrobnosti o konstrukčním modelu a zjednodušeném modelu naleznete v příloze A.
Jak strukturální modely, tak zjednodušené modely jsou účinnými metodami pro simulaci rizika selhání a oceňování úvěru. Oba modely lze kalibrovat z historických dat a někdy jsou spojeny do „hybridní“ podoby. Pokud jsou tyto modely použity pro oceňování, všechny se řídí zásadou rizikově neutrálního ocenění.
rizikově neutrální ocenění
Jednoduše řečeno, tento princip říká, že hodnota aktiva se rovná hodnotě očekávaných diskontovaných peněžních toků. Očekávaná hodnota se nevypočítává pomocí reálných pravděpodobností, ale spíše konstruovaných pravděpodobností extrahovaných z cen jiných aktiv. O této metodě ocenění by se dalo říci mnohem více, ale pro účely tohoto článku je hlavním bodem vědět, že se jedná o metodu oceňování derivátů, jako jsou evropské call a put opce, CDS nebo strukturované produkty. Pro kvantitativní analytiky, se kterými pracujeme v D8X, je [Björk, 2009] dobrou referencí pro rizikově neutrální ocenění.
Perpetual AMM čelí tržním rizikům
Automatizované tvůrce trhu (AMM) jsou alternativami DeFi k objednávání knižních trhů. AMM používají vzorce k určení ceny pro daný obchod spíše než párování limitních a tržních příkazů v systému založeném na knihách objednávek.
Předpokládejme, že v trvalé smlouvě je pouze jeden obchodník dlouhý 1 ETH (vysvětlení trvalých smluv viz např. [Deribit 2022]). Pokud se cena ETH zvýší o 20 %, AMM dluží obchodníkovi část zisku. Stejně tak, pokud cena klesne o 20 %, AMM sníží obchodníkovi marži o výši ztráty. Stručně řečeno, AMM jsou vystaveny tržním rizikům.
Pokud existuje další obchodník, který je short 1 ETH a cena stoupne o 20 %, obchodník, který je short, ztratí 20 % a obchodník, který je dlouhý, získá 20 %, a naopak, pokud cena klesne o 20 %. V tomto příkladu má AMM kompenzaci nulového tržního rizika: bez ohledu na to, jak se cena pohybuje, AMM nebude generovat žádné ztráty ani zisky.
Stručně řečeno, pro AMM je nejlepší mít čistou nulovou expozici. Přísně vzato, „nula“ platí pouze pro lineární trvalé smlouvy. V tomto článku se zaměříme na lineární trvalé kontrakty, kde je kolaterál v držené kótované měně (např. u ETH-USDC perpetual kontraktu je kolaterálem USDC).
AMM jako poskytovatel pojištění
Pro stanovení ceny trvalého kontraktu D8X předpokládáme, že obchodníci uzavírají kontrakt za spotovou cenu a pokud zvýší svou expozici vůči AMM, zakoupí si od AMM také úvěrové pojištění. Pojištění úvěru je navrženo tak, aby zajistilo, že když obchodník uzavře pozici, bude obchodníkovi vyplacena částka stanovená ve smlouvě. Pokud obchodníci sníží svou expozici AMM, obdrží náhradu. Pokud AMM nemá prostředky, když chce obchodník vypořádat, splatná částka musí být vyplacena z fondu pro případ selhání (tj. dodatečné kapitálové rezervy). Dohoda s AMM proto zahrnuje i možný přístup k pojistným fondům. V závislosti na stavu AMM je pojistné vyšší, nebo, jak uvidíme, obchodníkům bude pojistné vráceno, pokud sníží svou expozici vůči AMM.
Deep dive: Strukturální model perpetual futures AMM
Jak naceníme toto pojištění úvěru? Podobně jako u Mertonova modelu oceňování dluhopisů předpokládáme pevný časový horizont T. Pro vysvětlení tohoto konceptu nejprve předpokládáme, že AMM má pouze jednoho obchodníka a kapitál M vyjádřený v měně kotace (např. USDC). Obchodník zadá (podepsanou) pozici o velikosti κ za indexové ceny s. Zisk obchodníka na konci fixního období je
kde s je vstupní cena, s⋅exp(rmber) je výstupní cena a rmber je logaritmický výnos. Nyní je hodnota pojistného jeho diskontovaná očekávaná hodnota podle rizikově neutrální pravděpodobnostní míry. Za předpokladu, že bezriziková úroková sazba je nulová a diskontní období zmizí, je očekávaná hodnota následující:
kde M je kapitál AMM, kromě kapitálu fondu pro případ selhání. Aby bylo možné intuitivně porozumět tomuto pojmu, je třeba nejprve poznamenat, že pokud je kapitál AMM M dostatečně velký, je velmi pravděpodobné, že kapitál bude získán zpět a hodnota pojištění bude nízká (v tomto V případě, že první člen funkce max je pro r Většina implementací funkce je záporná, takže hodnota funkce max je 0). Za druhé, pokud M je 0, pojistná hodnota odpovídá očekávanému zisku obchodníka (protože pojištění pokrývá všechny zisky). Konečně, pokud je M relativně malý, část zisku obchodníka může být vyplacena kapitálem AMM a část zisku musí být zaplacena pojištěním. Prostřednictvím tohoto vysvětlení hypotézy bychom měli intuitivně porozumět vzorci (2).
Pro lognormální výnos lze vyhodnocení a analýzu provést pomocí vzorce (2), pokud je kolaterál M kotační měnou nebo základní měnou (např. trvalý kontrakt ETH-USD je ETH nebo USD). Pokud je kolaterálem třetí měna (vezmeme-li jako příklad věčný kontrakt ETH-USD, jedná se o BTC), neexistuje žádná uzavřená forma a očekávanou hodnotu je třeba vypočítat metodou Monte Carlo. Podrobnosti o této aproximaci naleznete v příloze B bílé knihy [Maire, Hernandez, 2022].
Stručně řečeno, vzorec (2) nám udává pojistné, které by AMM chtěla účtovat obchodníkům za udržování fondu pro selhání AMM.
Protože je třeba na blockchainu implementovat cenový vzorec, v další části zjednodušíme pojistné.
Bankéřská metoda odhadu
Bankovní sektor odhaduje očekávané úvěrové ztráty jako PD EAD LGD, podrobnosti viz [BIS 2005], kde PD je pravděpodobnost selhání, EAD je expozice při selhání (částka v peněžním vyjádření) a LGD je ztráta po selhání (a relativní pojem). To znamená, že tato metoda neodhaduje společně očekávané ztráty jako výše uvedené metody, ale předpokládá, že ztráta při selhání, expozice selhání a pravděpodobnost selhání jsou nezávislé. Tento přístup se také používá pro oceňování úvěrů, podrobnosti viz [Moody’s 2022].
Podle této linie myšlení předpokládáme, že ztráta dolaru (EAD * LGD) se rovná hodnotě počáteční pozice |κ|s. Nyní se stává pojistné
Očekávaná hodnota 1_θ je pravděpodobnost defaultu, kterou nastavíme na q. Výchozí indikátor je 0, když AMM není výchozí, a je 1, když je výchozí:
Proto se naše pojistné, rovnice (2), nyní zjednodušuje na hodnotu pozice vynásobenou rizikově neutrální pravděpodobností selhání, q. Hodnota q odpovídá hodnotě digitální opce. V příloze B poskytujeme intuitivní vysvětlení, proč se jedná o konzervativní předpoklad pro AMM. Ve skutečnosti je konzervativní, pokud je pravděpodobnost, že se cena v určitém období alespoň zdvojnásobí, nízká.
Pojistné odhadneme vynásobením hodnoty digitální opce velikostí obchodu |κ|s. To vede k uzavřenému formulářovému řešení, které můžeme implementovat on-chain.
Hodnotu q digitální opce lze analyticky vypočítat pro všechny typy zajištění M (základní, kotační nebo duální měna), takže tento přístup můžeme implementovat zcela on-chain. Obrázek 1 porovnává aproximaci pojistného s očekávanou ztrátou dělenou κs danou rovnicí (2).
Jak κs/M roste, aproximace digitální opce nadhodnocuje pojistné. To je užitečné, protože pokud je dostatek kapitálu (poměr κs/M je nízký), podceňujeme riziko a jak kapitál klesá vzhledem k expozici obchodníka, začínáme riziko nadhodnocovat. Stanovení cen proto odrazuje obchodníky od toho, aby vystavovali AMM nepřiměřenému riziku, a motivuje opačný obchod ke vstupu, protože rabaty jsou podobně předražené (a tedy pro obchodníky výhodné), jak podrobně popisujeme v další části.
Pobídky pro obchodníky
Prémii q(κ) začleníme do ceny p následovně:
Mezi nimi, pokud je parametr sgn(.) kladný, je výsledek výpočtu 1, v opačném případě je výsledek výpočtu -1 a κ je velikost transakce, která minimalizuje riziko AMM. To znamená, že pokud jste například short trader a κ je záporné, můžete zadat short obchod nad spotovou cenou s, takže můžete profitovat, když se cena sblíží ke spotu, naopak long trader vstupuje nad cenu s; spot, Toto je drahé ve srovnání se spotovým obchodováním.
Jak můžeme vidět na obrázku 1, pro nižší hodnoty velikosti obchodu na hlavu (κs/M) zůstává aproximace („digitální opce“) blízká přesné pojistné hodnotě a bude vyšší, pokud je AMM vystavena vyšší riziko Odhad pojistného. Tato prémie je účtována obchodníkům, kteří zvyšují riziko, a vrací se obchodníkům, kteří riziko snižují. Obchodníci jsou proto motivováni ke snížení čisté expozice AMM na nejnižší bod κ-κ*. Na úrovni κ-κ* má AMM nejmenší tržní riziko.
na závěr
Navrhujeme nový věčný kontrakt AMM založený na teorii oceňování derivátů. Náš přístup předpokládá, že obchodníci si zakoupí úvěrové pojištění, aby zajistili, že jejich pozice budou vyplaceny na konci smlouvy. Náš přístup je konzervativní, protože spíše než společně odhadujeme očekávanou ztrátu odhadujeme rizikově neutrální pravděpodobnost selhání. Náš přístup lze implementovat zcela on-chain, což vede k uzavřenému řešení.
Toto je technický článek, ale doufáme, že poskytne zajímavou perspektivu pro ty, kteří se zajímají o DeFi a finanční inženýrství. Věříme, že spojením osvědčených postupů tradičního financování s technologií blockchain můžeme komunitě DeFi poskytovat lepší produkty a služby.
Původní anglické informace: https://medium.com/@d8x.exchange/applying-derivative-pricing-theory-to-automated-market-making-for-perpetual-futures-aba831c80ad1